Теорема Наполеона
Теорема Наполеона — утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках:
|
Треугольники могут быть построены внутрь (все) — утверждение сохранит силу.
Получаемый таким образом треугольник называют треугольником Наполеона (внутренним и внешним).
Теорема часто приписывается Наполеону Бонапарту (1769—1821). Возможно, однако, что её предложил У. Резерфорд в публикации 1825 года англ. The Ladies' Diary[1].
Доказательства
Данная теорема может быть доказана несколькими способами. Один из них использует поворот и теорему Шаля (3 последовательных поворота возвращают плоскость на место). Похожий способ использует поворотную гомотетию (при применении 2 гомотетий с равными коэффициентами MN и LN переходят в один отрезок CZ). Другие способы более прямолинейны, но и более громоздки и сложны.
Связь с другими утверждениями
- Обобщение — теорема Петра-Неймана-Дугласа [2]
Теорема Наполеона обобщается на случай произвольных треугольников следующим образом
Если подобные треугольники любой формы построены на сторонах треугольника внешним образом так что каждый повёрнут относительно предыдущего и любимые три соответствующие точки этих треугольников соединены то итоговый треугольник будет подобен этим внешним треугольником.