Теория катастроф

Одной из непосредственных математических предпосылок теории стала работа Хасслера Уитни «On Singularities of Mappings of Euclidean Spaces. I. Mappings of the Plane into the Plane», опубликованная в 1955 году. Уитни исследовал особенности гладких отображений плоскости в плоскость; складка и сборка стали основными локальными моделями типичных особенностей таких отображений^[6]. Этот подход перенёс внимание с отдельных «исключительных» функций на особенности, сохраняющиеся в семействах и при малых возмущениях. В дальнейшем теория гладких отображений и теория развёртываний обеспечили строгий аппарат для классификации, изложение которого, включая роль результатов Джона Мазера, представлено в математическом обзоре Мартина Голубицкого 1978 года^[3].

Как самостоятельная исследовательская программа теория катастроф сформировалась в работах Рене Тома 1960-х годов. В книге «Stabilité structurelle et morphogenèse», вышедшей в 1972 году, Том связал структурную устойчивость, локальные особенности и задачи происхождения форм. Английский перевод «Structural Stability and Morphogenesis» был опубликован в 1975 годуNewman S. A. Morphogenesis [Review of: Structural Stability and Morphogenesis: An Outline of a General Theory of Models by René Thom] (англ.) // BioScience : журнал. — 1976. — Vol. 26, no. 5. — P. 346.. Наряду с классификацией простейших потенциальных моделей Том предлагал более широкую программу качественного описания морфогенеза. Математические теоремы о локальных особенностях и его интерпретации биологических форм составляли разные уровни этой программы и не имели одинакового статуса доказанности.

Владимир Арнольд развивал классификацию вырожденных критических точек и её связи с геометрией и алгеброй. Его статья 1972 года о нормальных формах, группах Вейля ${\displaystyle A_{k},D_{k},E_{k}}$ и лагранжевых особенностях стала одним из основных источников обозначений и представлений, связывающих катастрофы с более общей теорией простых особенностей^[7].

В 1970-е годы заметную роль в распространении идей сыграл Кристофер Зиман, представив семь элементарных катастроф широкой аудитории^[8].

В 1978 году обзор Голубицкого в SIAM Review изложил основные теоремы и разобрал приложения к изгибу упругих стержней, оптике и законам сохранения с явной математической постановкой. Обзор Берри и Апстилла 1980 года развил описание каустик и дифракционных картин. Эти работы показывают различие между строгими геометрическими результатами, их проверяемыми приложениями и более спекулятивными интерпретациями^[3].

В потенциальной постановке рассматривается гладкая функция

${\displaystyle V(x;\lambda ),\qquad x=(x_{1},\ldots ,x_{m})\in \mathbb {R} ^{m},\qquad \lambda =(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k})\in \mathbb {R} ^{k}.}$

Переменные ${\displaystyle x}$ описывают состояние, а ${\displaystyle \lambda }$ — управляющие параметры. В механике потенциалом может служить потенциальная энергия, в задачах оптимизации — целевая функция. В других приложениях функция является эффективной моделью и не обязана иметь смысл физической энергии^[9].

Стационарные состояния задаются системой

${\displaystyle \nabla _{x}V(x;\lambda )=0.}$

Совокупность всех таких состояний вместе с соответствующими значениями параметров образует множество равновесий

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{(x,\lambda ):\nabla _{x}V(x;\lambda )=0\}.}$

Теория исследует геометрию этого множества и то, как меняются его сечения при фиксировании параметров. Один набор параметров может соответствовать нескольким различным состояниям^[3].

Критическая точка потенциала называется невырожденной, если его матрица Гессе по переменным состояния

${\displaystyle H(x;\lambda )=\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)_{i,j=1}^{m}}$

невырождена, то есть ${\displaystyle \det H\neq 0}$. По теореме о неявной функции такое равновесие при малом изменении параметров продолжается в гладкую локальную ветвь ${\displaystyle x=x(\lambda )}$. Вырождение гессиана означает, что этот способ продолжения может перестать работать^[3].

Интерпретация критических точек как устойчивых или неустойчивых состояний требует задания динамики. Для градиентной системы

${\displaystyle {\dot {x}}=-\nabla _{x}V(x;\lambda )}$

при фиксированных параметрах выполняется ${\displaystyle dV/dt=-\lVert \nabla _{x}V\rVert ^{2}\leq 0}$. Невырожденные локальные минимумы асимптотически устойчивы; невырожденные максимумы и седловые точки неустойчивы. В одномерном случае эти условия сводятся соответственно к ${\displaystyle V_{xx}>0}$ и ${\displaystyle V_{xx}<0}$. При ${\displaystyle V_{xx}=0}$ необходимо учитывать производные более высокого порядка^[10].

Потенциал сам по себе не задаёт скорости переходов, величины шума и правила выбора между несколькими минимумами. Поэтому одинаковая геометрия критических точек может сочетаться с различными наблюдаемыми сценариями движения^[9].

При обычном условии регулярности системы ${\displaystyle \nabla _{x}V=0}$ множество ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ является гладким многообразием размерности ${\displaystyle k}$. Рассматривается его проекция на пространство параметров:

${\displaystyle \pi :{\mathcal {M}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{k},\qquad (x,\lambda )\longmapsto \lambda .}$

Критические точки этой проекции соответствуют вырожденным критическим точкам потенциала. Их образы образуют дискриминант, или бифуркационное множество вырожденных равновесий^[3].

В потенциальной постановке оно задаётся исключением переменных состояния из условий

${\displaystyle \nabla _{x}V=0,\qquad \det H=0.}$

В одномерном случае это система ${\displaystyle V_{x}=V_{xx}=0}$. Пересечение дискриминанта может сопровождаться рождением или исчезновением пары критических точек. Однако само наличие вырожденной точки ещё не означает, что наблюдаемое состояние обязательно совершит скачок^[11].

Теория катастроф продолжает локальное исследование критических точек, лежащее в основе теории Морса. По лемме Морса в окрестности невырожденной критической точки подходящей гладкой заменой координат потенциал приводится к сумме постоянной и невырожденной квадратичной формы:

${\displaystyle V=V_{0}-y_{1}^{2}-\cdots -y_{r}^{2}+y_{r+1}^{2}+\cdots +y_{m}^{2}.}$

Число отрицательных квадратов является индексом Морса критической точки^[3].

Для вырожденной точки лемма о расщеплении позволяет отделить невырожденную квадратичную часть. Оставшаяся функция зависит от существенных, или активных, переменных; их число равно корангу гессиана — размерности его ядра. Поэтому модель с большим исходным числом переменных может иметь локальную катастрофу, описываемую одной или двумя активными переменными^[9].

Локальные свойства функции формализуются понятием ростка: две функции определяют один росток в точке, если совпадают в некоторой её окрестности. При классификации ростки сравнивают с точностью до допустимых гладких обратимых замен переменных. Для семейств допускаются соответствующие изменения параметров и добавление функции, зависящей только от параметров; последнее не меняет уравнения критических точек^[3].

Нормальная форма — простая функция, представляющая соответствующий локальный тип. Для особенностей конечной определённости достаточно конечного числа членов разложения Тейлора: более высокие члены могут быть устранены допустимой заменой координат. Это не равносильно произвольному отбрасыванию высших степеней без проверки условий теории^[7].

Развёртыванием, или деформацией, ростка ${\displaystyle f(x)}$ называется семейство ${\displaystyle F(x;\lambda )}$ с ${\displaystyle F(x;0)=f(x)}$. Развёртывание версально, если всякая достаточно малая деформация исходного ростка получается из него заменой параметров и допустимыми преобразованиями переменных. Версальное развёртывание с минимальным числом параметров называют миниверсальным^[9].

В элементарной теории катастроф коразмерностью обычно называют минимальное число существенных параметров такого развёртывания после исключения аддитивной константы потенциала. Например, росток ${\displaystyle x^{4}}$ требует двух параметров и представлен семейством ${\displaystyle x^{4}/4+ax^{2}/2+bx}$. Одно лишь специальное однопараметрическое подсемейство этого семейства не описывает всех его малых возмущений^[3].

Структурная устойчивость означает сохранение качественного геометрического типа при достаточно малых допустимых возмущениях. Её не следует смешивать с устойчивостью отдельного равновесия во времени. Вырожденная критическая точка отдельной функции обычно разрушается при возмущении, но тип её развёртывания и соответствующая геометрия складок могут быть структурно устойчивыми^[5].

Именно поэтому особые точки возникают в типичных семействах, хотя типичная отдельная функция имеет только невырожденные критические точки. Управляющие параметры позволяют семейству пересекать множества функций с вырождениями; коразмерность характеризует число независимых условий, необходимых для такого пересечения^[3].

Сборка (англ. cusp), обозначаемая ${\displaystyle A_{3}}$, описывается двумя управляющими параметрами:

${\displaystyle V(x;a,b)={\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {ax^{2}}{2}}+bx.}$

Уравнение критических точек и условие их невырожденности имеют вид

${\displaystyle x^{3}+ax+b=0,\qquad V_{xx}=3x^{2}+a\neq 0.}$

Поверхность равновесий можно параметризовать переменными ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle x}$, положив ${\displaystyle b=-x^{3}-ax}$. Эта поверхность гладка; складки возникают у её проекции на плоскость ${\displaystyle (a,b)}$, а не вследствие разрыва самой поверхности^[11][13].

Из системы ${\displaystyle x^{3}+ax+b=0}$, ${\displaystyle 3x^{2}+a=0}$ получается параметризация линии складок

${\displaystyle a=-3s^{2},\qquad b=2s^{3},\qquad x=s.}$

Её проекция на пространство управляющих параметров является полукубической параболой

${\displaystyle 4a^{3}+27b^{2}=0.}$

Точка ${\displaystyle a=b=0}$ — точка сборки, в которой сходятся две ветви складок^[11].

Число действительных корней кубического уравнения определяется его дискриминантом ${\displaystyle \Delta =-4a^{3}-27b^{2}}$. Поэтому при ${\displaystyle 4a^{3}+27b^{2}<0}$ имеются три различные критические точки: два минимума и максимум между ними. При ${\displaystyle 4a^{3}+27b^{2}>0}$ остаётся один минимум. На линии складок вне начала координат один корень двойной, а другой простой; в начале координат корень ${\displaystyle x=0}$ тройной^[11].

При ${\displaystyle a=b=0}$ потенциал равен ${\displaystyle x^{4}/4}$, и вырожденная критическая точка остаётся минимумом. Этот пример показывает, почему математическое вырождение не следует автоматически отождествлять с потерей устойчивости или наблюдаемым скачком.

Наряду с дискриминантом рассматривают множество Максвелла: значения параметров, при которых несколько различных минимумов имеют одинаковое значение потенциала. Внутри области двух минимумов сборки это множество задаётся условиями ${\displaystyle b=0}$, ${\displaystyle a<0}$. Минимумы находятся в точках ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-a}}}$ и имеют общее значение ${\displaystyle V=-a^{2}/4}$^[11][14].

Если состояние выбирается по правилу абсолютного минимума, то при ${\displaystyle a<0}$ и переходе через ${\displaystyle b=0}$ оно меняется между положительной и отрицательной ветвями. При отрицательном ${\displaystyle b}$ глубже правый минимум, при положительном — левый. В точке перехода оба минимума невырождены: ${\displaystyle V_{xx}=-2a>0}$. Следовательно, смена глобального минимума не требует исчезновения локального равновесия^[11].

Дискриминант и множество Максвелла характеризуют разные события. Первый фиксирует вырождение критической точки, второе — равенство значений в разных критических точках. Смешение этих множеств приводит к неверному отождествлению порога потери устойчивости с порогом смены глобально оптимального состояния^[15].

Классификация Тома выделяет семь именованных типов локальных катастроф коразмерности не выше четырёх. После отделения невырожденных квадратичных переменных они имеют одну или две активные переменные. В таблице приведены стандартные представители их развёртываний; коэффициенты нормированы так, чтобы производные однопеременных потенциалов имели простой вид^[3][16].

Элементарные катастрофы

Тип	Обозначение	Активных переменных	Коразмерность	Представитель потенциального семейства
Складка	${\displaystyle A_{2}}$	1	1	${\displaystyle {\dfrac {x^{3}}{3}}-\lambda _{1}x}$
Сборка	${\displaystyle A_{3}}$	1	2	${\displaystyle {\dfrac {x^{4}}{4}}+{\dfrac {\lambda _{1}x^{2}}{2}}+\lambda _{2}x}$
Ласточкин хвост	${\displaystyle A_{4}}$	1	3	${\displaystyle {\dfrac {x^{5}}{5}}+{\dfrac {\lambda _{1}x^{3}}{3}}+{\dfrac {\lambda _{2}x^{2}}{2}}+\lambda _{3}x}$
Бабочка	${\displaystyle A_{5}}$	1	4	${\displaystyle {\dfrac {x^{6}}{6}}+{\dfrac {\lambda _{1}x^{4}}{4}}+{\dfrac {\lambda _{2}x^{3}}{3}}+{\dfrac {\lambda _{3}x^{2}}{2}}+\lambda _{4}x}$
Эллиптическая омбилика	${\displaystyle D_{4}^{-}}$	2	3	${\displaystyle x^{3}-3xy^{2}+\lambda _{1}(x^{2}+y^{2})+\lambda _{2}x+\lambda _{3}y}$
Гиперболическая омбилика	${\displaystyle D_{4}^{+}}$	2	3	${\displaystyle x^{3}+y^{3}+\lambda _{1}xy+\lambda _{2}x+\lambda _{3}y}$
Параболическая омбилика	${\displaystyle D_{5}}$	2	4	${\displaystyle x^{2}y+y^{4}+\lambda _{1}x^{2}+\lambda _{2}y^{2}+\lambda _{3}x+\lambda _{4}y}$

Число активных переменных в этой таблице не ограничивает общее число физических степеней свободы системы: остальные переменные могут входить в отделённую квадратичную часть. Коразмерность также не равна степени многочлена. Например, особенность ${\displaystyle A_{3}}$ задаётся ростком четвёртой степени, но требует двух существенных управляющих параметров^[9].

При вещественной классификации существенны допустимые знаки старших членов и сигнатура отделённой квадратичной формы. Семь названий группируют традиционные геометрические типы и не означают тождества минимумов и максимумов. В частности, замена ${\displaystyle V}$ на ${\displaystyle -V}$ сохраняет множество критических точек, но меняет их устойчивость в динамике ${\displaystyle {\dot {x}}=-\nabla _{x}V}$^[3].

Для ласточкина хвоста можно выбрать потенциал

${\displaystyle V(x;a,b,c)={\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {ax^{3}}{3}}+{\frac {bx^{2}}{2}}+cx.}$

Уравнение критических точек имеет четвёртую степень. Из условий ${\displaystyle V_{x}=V_{xx}=0}$, после обозначения критического значения состояния через ${\displaystyle s}$, получается параметризация дискриминанта:

${\displaystyle b=-4s^{3}-2as,\qquad c=3s^{4}+as^{2}.}$

В трёхмерном пространстве параметров эта поверхность содержит линии сборок и самопересечений. Последние соответствуют различным критическим точкам, одновременно удовлетворяющим условиям складки, а не самопересечению траектории состояния^[11].

В начале координат ${\displaystyle a=b=c=0}$ критическая точка ${\displaystyle x=0}$ имеет тип ${\displaystyle A_{4}}$. Для бабочки ${\displaystyle A_{5}}$ требуется четыре существенных параметра. Омбилические катастрофы описывают вырождение по двум активным направлениям, которое не сводится к рассмотрению независимых однопеременных складок^[11].

Утверждение о семи типах предполагает гладкость, локальность рассмотрения, конечную коразмерность и общее положение семейства. При большем числе управляющих параметров появляются другие особенности. Дополнительные симметрии, ограничения на переменные или на допустимые возмущения изменяют задачу классификации^[3].

Так, симметричная подсемья сборки ${\displaystyle b=0}$ инвариантна относительно ${\displaystyle x\mapsto -x}$. В градиентной системе ${\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}-ax}$ изменение ${\displaystyle a}$ даёт вилочную бифуркацию: при ${\displaystyle a>0}$ устойчиво состояние ${\displaystyle x=0}$, при ${\displaystyle a<0}$ устойчивы два состояния ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-a}}}$. Ненулевой параметр ${\displaystyle b}$ нарушает симметрию. Поэтому особенности симметричной модели нельзя без оговорок считать типичными среди всех её возмущений^[10].

Классификация одной вырожденной критической точки также не описывает автоматически все возможные взаимодействия нескольких удалённых минимумов. Глобальные задачи выбора состояния и одновременные особенности в разных точках требуют дополнительного анализа.