Рукописная строчная D

Пусть ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ — функция нескольких переменных. Частная производная функции ${\displaystyle f}$ по переменной ${\displaystyle x_{i}}$ определяется как предел^[8]:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{1},\dots ,x_{i}+h,\dots ,x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})}{h}}}$.

Вектор всех частных производных называется градиентом функции и обозначается:

${\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}$^[9].

Вторые частные производные образуют матрицу Гессе, а смешанные производные при достаточной гладкости функции не зависят от порядка дифференцирования (теорема Шварца):

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}}$^[10].

В векторном анализе символ ∂ используется для записи основных дифференциальных операторов над векторными полями:

• Дивергенция векторного поля ${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{1},F_{2},F_{3})}$:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}}$^[11];

• ротор векторного поля:

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}},\;{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{3}}{\partial x}},\;{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)}$^[12];

• лапласиан скалярной функции:

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$ Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии / Пер. с англ.. — М.: Мир, 1982. — Т. 2. — С. 96..

В дифференциальной геометрии символ ∂ используется в теории дифференциальных форм. Оператор внешнего дифференцирования ${\displaystyle d}$ действует на дифференциальные формы, повышая их степень на единицу. В комплексном анализе нескольких переменных оператор ${\displaystyle d}$ раскладывается в сумму двух операторов:

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$,

где ${\displaystyle \partial }$ повышает голоморфную степень формы, а ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ — антиголоморфную. Условие ${\displaystyle {\bar {\partial }}f=0}$ является записью условия голоморфности функции ${\displaystyle f}$ (обобщённое уравнение Коши — Римана)^[13].

Сопряжённый оператор ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{*}}$ (или ${\displaystyle \vartheta }$) играет ключевую роль в когомологиях Дольбо комплексных многообразийГриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии / Пер. с англ.. — М.: Мир, 1982. — Т. 2. — С. 37..

В алгебраической топологии символ ∂ обозначает границу топологического пространства или многообразия: ${\displaystyle \partial M}$. Например, граница диска ${\displaystyle D^{2}}$ — это окружность ${\displaystyle S^{1}}$, а граница отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ состоит из двух точек ${\displaystyle \{a,b\}}$^[14].

В гомологической алгебре ∂ обозначает граничный оператор в цепном комплексе ${\displaystyle (C_{\bullet },\partial )}$, удовлетворяющий условию ${\displaystyle \partial \circ \partial =0}$. Аналогично, в дифференциальной градуированной алгебре ∂ — это дифференциал, повышающий или понижающий степень на единицу^[15].

Якобиан вектор-функции ${\displaystyle \mathbf {F} =(f_{1},\dots ,f_{m})}$ от переменных ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ записывается через символ ∂:

${\displaystyle J={\frac {\partial (f_{1},\dots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}}$.

Определитель якобиана (при ${\displaystyle m=n}$) называется якобианом и играет роль «коэффициента растяжения объёма» при замене переменных в кратных интегралах^[16].

Символ ∂ является основным при записи уравнений в частных производных (УрЧП), описывающих фундаментальные физические процессы:

• Уравнение теплопроводности: ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \Delta u}$;
• Волновое уравнение: ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta u}$;
• Уравнение Лапласа: ${\displaystyle \Delta u=0}$;
• Уравнение Пуассона: ${\displaystyle \Delta u=f}$^[17][18].