Символ бесконечности

Слово бесконечный в математическом смысле стало употребляться благодаря немецкому художнику А. Дюреру (1525). Слово конечный появилось в математике гораздо позднее: у профессора математики Райера (1708).

Математики Греции пытались дать определения таким понятиям, как бесконечность, предел, но столкнулись с непреодолимыми трудностями. Все эти понятия были корректно определены только в XIX веке. Современное определение бесконечного предложил Дедекинд в книге «Was sind und was sollen die Zahlen?» («Что такое числа и чем они должны быть?», 1888).

Знак ${\displaystyle \infty }$ в математическом смысле в его современном виде для указания неограниченного возрастания ввёл английский математик Джон Валлис, который впервые использовал этот символ в своём трактате 1655 года «О конических сечениях» (лат. De sectionibus conicis). В своей книге Валлис никак не объяснил выбор этого символа для обозначения бесконечности, по некоторым предположениям, это мог быть вариант записи числа 1000 римскими цифрами (первоначально выглядевшей как CIƆ, либо CƆ), или буквы омега (ω) — последней буквы греческого алфавита. Знак стал общепринятым с XVIII века, хотя иногда употреблялись и другие обозначения (например, ${\displaystyle \sim }$ или ${\displaystyle 0-0}$)^[1].

Леонард Эйлер использовал особый, открытый вариант символа бесконечности для того, чтобы обозначить «абсолютную бесконечность» (лат. absolutus infinitus). Этот символ бесконечности впоследствии никем не использовался и не представлен в Юникоде. У Вейерштрасса появились (1876) и нашли широкое применение в анализе две модификации этого символа: плюс-бесконечность (${\displaystyle +\infty }$) и минус-бесконечность (${\displaystyle -\infty }$).

Бесконечность может рассматриваться как неограниченность некоторого процесса, например, когда во втором постулате Евклида утверждается возможность продолжить бесконечно и непрерывно любую прямую, то имеется в виду, что процесс можно непрерывно продолжать, но существование такого самостоятельного объекта, как бесконечная прямая, из него не следует. Такого рода процессы и совокупности объектов, их описывающие, характеризуют потенциальную бесконечность.

Альтернативой является понятие актуальной бесконечности, которая означает рассмотрение конечно неизмеримых объектов как данность, как реально существующих, но при этом как единых и целостных, с которыми возможно оперировать. В таком ключе актуально бесконечное — как прямое и полное отрицание конечного — математики современности оперируют с актуально бесконечными множествами и актуально бесконечномерными пространствами.

В математике символ бесконечности используется для выражения потенциальной бесконечности.

Этот математический объект, в разных математических теориях представляет геометрическую актуальную бесконечность.

• Бесконечно удалённая точка в классическом математическом анализе — одна из точек ${\displaystyle x_{1}=\infty }$ и ${\displaystyle x_{2}=-\infty }$ на расширенной числовой прямой — ${\displaystyle {\overline {R}}=R\cup \{+\infty \}\cup \{-\infty \}}$.
• Бесконечно удалённая точка в комплексном анализе — точка ${\displaystyle z=\infty }$ на расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$.
• Бесконечно удалённая точка в проективной геометрии — точка ${\displaystyle x=\infty }$, которой дополняется образ евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ при проективном преобразовании.

Если бесконечные промежутки с положительной или с отрицательной стороны не ограничены каким-либо вещественным числом, то считают, что у этих промежутков одним из концов или обоими концами служат несобственные числа ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$, полагая, что для любого вещественного числа ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ справедливо соотношение ${\displaystyle -\infty <x<+\infty }$. Обозначения и наименования бесконечных промежутков аналогичны тем названиям, как для конечных промежутков: ${\displaystyle [a,+\infty ),\quad (a,+\infty ),\quad (-\infty ,b],\quad (-\infty ,b),\quad (-\infty ,+\infty )}$. Так как ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$ по определению не входят в ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ они не включаются в эти множества.

Для несобственного элемента ${\displaystyle \infty }$ устанавливаются следующие правила действий:

${\displaystyle \infty +a=\infty }$, если ${\displaystyle a}$ конечно;

${\displaystyle \infty +\infty }$ — не имеет смысла;

${\displaystyle \infty \cdot a=\infty }$, если ${\displaystyle a\neq 0}$;

${\displaystyle \infty \cdot 0}$ — не имеет смысла.

Неравенства с символом ${\displaystyle \infty }$ не рассматриваются, так как не имеет смысла спрашивать, больше или меньше ${\displaystyle \infty }$, чем конечное ${\displaystyle a}$.

При анализе таких функций систему действительных чисел дополняют двумя несобственными элементами ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$, полагая ${\displaystyle -\infty <a<+\infty }$ для любого конечного ${\displaystyle a}$ и сохраняя основные свойства неравенств в расширенной числовой системе:

${\displaystyle (+\infty )+a=+\infty }$, если ${\displaystyle a\neq -\infty }$; ${\displaystyle (-\infty )+a=-\infty }$, если ${\displaystyle a\neq +\infty }$;

${\displaystyle (+\infty )+(-\infty )}$ — не имеет смысла;

${\displaystyle (+\infty )\cdot a=+\infty }$, если ${\displaystyle a>0}$; ${\displaystyle (+\infty )\cdot a=-\infty }$, если ${\displaystyle a<0}$;

${\displaystyle (-\infty )\cdot a=-\infty }$, если ${\displaystyle a>0}$; ${\displaystyle (-\infty )\cdot a=+\infty }$, если ${\displaystyle a<0}$;

${\displaystyle (+\infty )\cdot 0}$ и ${\displaystyle (-\infty )\cdot 0}$ — не имеют смысла^[2].

Для последовательности точек ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$, точка ${\displaystyle x_{0}}$ называется пределом, если для любой окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x_{0}}$ существует такое натуральное ${\displaystyle N}$, что для всех ${\displaystyle n>N}$ выполняется включение ${\displaystyle x_{n}\in U}$. При этом пишут: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}}$^[3].

Такие последовательности имеют своим пределом либо одну из бесконечностей со знаком плюс или минус, либо символ бесконечности без знака. Тогда запись такой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ имеет вид: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$; ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=+\infty }$; ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty }$^[4].

В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$. Такое обозначение применяется как для самого ряда, так и для его суммы^[5].

Выражение, содержащее бесконечное множество числовых или функциональных сомножителей, каждый из которых отличен от нуля, записывается: ${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }(1+u_{k})}$^[6].

Такая функция переменного ${\displaystyle x}$, которая в данном процессе изменения ${\displaystyle x}$ становится и остаётся по абсолютной величине больше любого наперёд заданного числа. Это записывается следующим образом: ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=\infty }$.

Аналогичным образом определяются:${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=-\infty }$, ${\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=+\infty }$.

Функция переменного ${\displaystyle x}$, которая в данном процессе изменения ${\displaystyle x}$ становится и остаётся по абсолютной величине меньше любого заданного числа. Это записывается следующим образом: ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=0}$, ${\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=0}$^[7].

Если у функции ${\displaystyle f(x)}$ существует предел на бесконечности, равный ${\displaystyle A}$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ стремится к ${\displaystyle A}$ при стремлении ${\displaystyle x}$ к бесконечности и пишут:${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f\left(x\right)=A}$.

Если у функции ${\displaystyle f(x)}$ существует предел на плюс бесконечности, равный ${\displaystyle A}$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ стремится к ${\displaystyle A}$ при стремлении ${\displaystyle x}$ к плюс бесконечности и пишут:${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=A}$.

Если у функции ${\displaystyle f(x)}$ существует предел на минус бесконечности, равный ${\displaystyle A}$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ стремится к ${\displaystyle A}$ при стремлении ${\displaystyle x}$ к минус бесконечности и пишут:${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=A}$.

Знак бесконечности можно условно интерпретировать в том смысле, что переменная достигает сколь угодно больших значений (стремится к бесконечности), но не принимает значения, равного бесконечности^[8].

В Юникоде бесконечность обозначена символом ∞ (U+221E)^[9], в наборе макрорасширений компьютерной вёрстки LaTeX для обозначения символа ${\displaystyle \infty }$ используется команда\infty^[10]. Имеются также другие варианты кодировки символа.