Таубер, Альфред

Его самая важная статья опубликована в 1897 году^[9]. В этой работе он впервые доказал обратную теорему Абеля^[19]. Этот результат стал отправной точкой для многочисленных исследований^[9]. Они привели к доказательству и применению подобных теорем для различных методов суммирования. Формулировка этих теорем имеет стандартную структуру: если ряд ∑ a_n суммируем по заданному методу и удовлетворяет дополнительному «тауберову условию»^[20], то он является сходящимся^[21]. С 1913 года Г. Х. Харди и Дж. И. Литлвуд использовали термин «тауберовы» для обозначения этого класса теорем^[22]. Основными достижениями работы 1897 года являются две теоремы^[23][24]:

Первая теорема Таубера^[25]. Если ряд ∑ a_n суммируем по Абелю к сумме s, то есть lim_{x→ 1⁻}  a_n x ⁿ =  s, и если кроме того a_n = ο(n⁻¹), то ∑ a_k сходится к s.

Эта теорема, согласно Korevaar (2004, p. 10)^[26], является предшественницей всей тауберовой теории. Условие a_n = ο(n⁻¹) — это первое тауберово условие, которое позже получило множество обобщений^[27]. Используя эту теорему^[28], Таубер доказал более общий результат^[29]:

Вторая теорема Таубера^[30]. Ряд ∑ a_n сходится к сумме s тогда и только тогда, когда выполняются два условия:

1. ∑ a_n суммируем по Абелю и
2. k a_k = ο(n).

Этот результат не является тривиальным следствием первой теоремы Таубера^[31]. Он доказывает точную эквивалентность между обычной сходимостью и суммируемостью по Абелю совместно с тауберовым условием. Chatterji (1984, pp. 169–170) утверждает, что этот результат формулирует необходимое и достаточное условие сходимости ряда. Вторая теорема упоминается реже, так как не имеет глубоких обобщений^[32], хотя занимает важное место в теории суммируемости рядов^[30][32].

Фредерик В. Кинг (2009, с. 3) пишет, что Таубер внёс ранний вклад в теорию «преобразования Гильберта», предвосхитив работы Гильберта и Харди^[33]. В работе Tauber (1891) рассматриваются действительная часть φ и мнимая часть ψ степенного ряда f^[34][35]:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{+\infty }c_{k}z^{k}=\varphi (\theta )+\mathrm {i} \psi (\theta )}$

где

• z = re ^iθ , где r — абсолютное значение комплексной переменной,
• c_k r ^k = a_k + ib_k для каждого натурального числа k^[36],
• φ(θ) = a_kcos(kθ) − b_ksin(kθ) и ψ(θ) = a_ksin(kθ) + b_kcos(kθ) — тригонометрические ряды и периодические функции.

При условии, что r меньше радиуса сходимости R_f, Таубер доказывает, что φ и ψ удовлетворяют уравнениям:

(1)     ${\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\psi (\theta +\phi )-\psi (\theta -\phi )\right\}\operatorname {ctg} \left({\frac {\phi }{2}}\right)\,\mathrm {d} \phi }$

(2)     ${\displaystyle \psi (\theta )=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\varphi (\theta +\phi )-\varphi (\theta -\phi )\right\}\operatorname {ctg} \left({\frac {\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi }$

Предполагая r = R_f, он доказывает, что уравнения выполняются, если φ и ψ абсолютно интегрируемы^[37]. Этот результат эквивалентен определению преобразования Гильберта на окружности. Уравнения (1) и (2) эквивалентны паре преобразований Гильберта^[38]:

${\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\psi (\phi )\operatorname {ctg} \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi \qquad \psi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\varphi (\phi )\operatorname {ctg} \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi }$

В заметке (Tauber 1895) Таубер привёл применение этих результатов:

комплекснозначная непрерывная функция φ(θ) + iψ(θ), определённая на окружности, является граничным значением голоморфной функции, определённой в её открытом круге, тогда и только тогда, когда:

1. функция [φ(θ − α) − φ(θ + α)]/α равномерно интегрируема в каждой окрестности точки α = 0, и
2. функция ψ(θ) удовлетворяет уравнению.