Каирская пятиугольная мозаика
| Каирская пятиугольная мозаика | |
|---|---|
| |
| Тип | Двойственная полуправильная мозаика |
| Грани | неправильные пятиугольники |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
  
|
| Симметрия | p4g, [4+,4], (4*2) p4, [4,4]+, (442) |
| Симметрия вращения |
p4, [4,4]+, (442) |
| Двойственная мозаика |
плосконосая квадратная мозаика |
| Конфигурация грани | V3.3.4.3.4  |
| Свойства | транзитивная по граням |
Каирская пятиугольная мозаика является двойственной полуправильной мозаикой на плоскости. Мозаика получила такое название по египетскому городу Каир, улицы которого вымощены такими плитками[1][2]. Мозаика является одной из 15 известных равногранных (то есть имеющих грани только одного вида) пятиугольных мозаик.
Мозаика также называется сетью Макмагона[3] по имени Перси Александра Макмагона, опубликовавшего в 1921 году статью «New Mathematical Pastimes» (Новые математические развлечения)[4].
Конвей называет мозаику 4-fold pentille (4-кратный пятипаркет)[5].
Как 2-мерная кристаллическая решётка мозаика имеет те же специальные свойства, что и шестиугольная решётка. Обе решётки являются стандартной реализацией (в терминах М. Котани и Т. Сунада) для кристаллических решёток общего вида[6][7].
Геометрия
Грани мозаики не являются правильными пятиугольниками — их стороны не равны (они имеют четыре длинные и одну короткую стороны с отношением [8]), а углы пятиугольника составляют (последовательно) . Мозаика имеет конфигурацию грани V3.3.4.3.4.
Мозаика похожа на призматическую пятиугольную мозаику с конфигурацией грани V3.3.3.4.4, но в этой мозаике два прямых угла находятся рядом.
Вариации
Каирская пятиугольная мозаика имеет два вида с пониженной симметрией, которые являются равногранными пятиугольными мозаиками типов 4 и 8:
| p4 (442) | pgg (22×) |
|---|---|
|
|
 b=c, d=e B=D=90° |
 b=c=d=e 2B+C=D+2E=360° |
|
|
Двойственная мозаика
Мозаика является двойственной для плосконосой квадратной мозаики, состоящей из двух квадратов и трёх равносторонних треугольников вокруг каждой вершины[9].
Связь с шестиугольными мозаиками
Эту мозаику можно рассматривать как объединение двух перпендикулярных шестиугольных мозаик, растянутых в раз. Каждый Шестиугольник делится на четыре пятиугольника. Шестиугольники можно сделать вогнутыми, что приведёт к вогнутым пятиугольникам[10]. Альтернативно, одну шестиугольную мозаику можно оставить правильной, а другую сжать и растянуть (в разных направлениях) в раз, что приводит к образованию 2 видов пятиугольников.
|
|
|
Топологически эквивалентные мозаики
Как двойственная плосконосой квадратной мозаике данная мозаика имеет фиксированные пропорции. Однако её можно подстроить под другие геометрические формы с той же топологической связностью и другой симметрией. Например, эти мозаики топологически идентичны.
|
|
|
| Переплетение «рогожка» | Наложение на каирскую мозаику | |
|---|---|---|
Усечённая каирская пятиугольная мозаика
Усечение 4-валентных вершин создаёт мозаику, связанную с многогранником Голдберга , и ей может быть дан символ {4+,4}2,1. Пятиугольники усекаются до семиугольников. Двойственная мозаика к {4,4+}2,1 имеет только треугольные грани и связана с геодезическим многогранником. Её можно рассматривать как плосконосую квадратную мозаику, в которой квадраты заменены четырьмя треугольниками.
 Усечённая каирская пятиугольная мозаика |
 Кис-плосконосая квадратная мозаика |
Связанные многогранники и мозаики
Каирская пятиугольная мозаика подобна призматической пятиугольной мозаике с конфигурацией граней V3.3.3.4.4, двум 2-однородным двойственным мозаикам и двум 3-однородным двойственным, в которых смешаны два типа пятиугольников. Здесь они нарисованы с выделением цветом рёбер[11].
 V3.3.3.4.4 |
V3.3.4.3.4 |
| Связанные пятиугольные мозаики | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Каирская пятиугольная мозаика | 2-однородные двойственные | ||||||
| p4g (4*2) | p2, (2222) | pgg (22×) | cmm (2*22) | ||||
 |
|
 |
|
 |
| ||
| V3.3.4.3.4 | (V3.3.3.4.4; V3.3.4.3.4) | ||||||
| Призматическая пятиугольная мозаика | 3-однородные двойственные | ||||||
| cmm (2*22) | p2 (2222) | pgg (22×) | p2 (2222) | pgg (22×) | |||
 |
|
 |
|
 |
| ||
| V3.3.3.4.4 | (V3.3.3.4.4; V3.3.4.3.4) | ||||||
Каирская пятиугольная мозаика находится в последовательности двойственных плосконосых многогранников и мозаик с конфигурацией граней V3.3.4.3.n.
| 4n2 симметрии плосконосых мозаик: 3.3.4.3.n | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия 4n2 |
Сферическая | Евклидова | Компактная гиперболическая | Paracomp. | ||||
| 242 | 342 | 442 | 542 | 642 | 742 | 842 | ∞42 | |
| Плосконосые мозаики |
|
|
|
|
|
|
|
|
| Конфиг. | 3.3.4.3.2 | 3.3.4.3.3 | 3.3.4.3.4 | 3.3.4.3.5 | 3.3.4.3.6 | 3.3.4.3.7 | 3.3.4.3.8 | 3.3.4.3.∞ |
| Гиро- мозаики |
|
|
|
|
||||
| Конфиг. | V3.3.4.3.2 | V3.3.4.3.3 | V3.3.4.3.4 | V3.3.4.3.5 | V3.3.4.3.6 | V3.3.4.3.7 | V3.3.4.3.8 | V3.3.4.3.∞ |
Она также находится в последовательности двойственных плосконосых многогранников и мозаик с конфигурацией граней V3.3.n.3.n.
| Варианты симметрии 4n2 плосконосых мозаик: 3.3.n.3.n | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия 4n2 |
Сферияеские | Евклидовы | Компактные гиперболические | Паракомпактные | |||||||
| 222 | 322 | 442 | 552 | 662 | 772 | 882 | ∞∞2 | ||||
| Тела с отсечёнными вершинами |
|
|
|
|
|
|
|
| |||
| Конфиг. | 3.3.2.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.4.3.4 | 3.3.5.3.5 | 3.3.6.3.6 | 3.3.7.3.7 | 3.3.8.3.8 | 3.3.∞.3.∞ | |||
| Повёрнытые тела |
|
|
|
| |||||||
| Конфиг. | V3.3.2.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.4.3.4 | V3.3.5.3.5 | V3.3.6.3.6 | V3.3.7.3.7 | V3.3.8.3.8 | V3.3.∞.3.∞ | |||
См. также
Примечания
Литература
- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Charming proofs: a journey into elegant mathematics. — Mathematical Association of America, 2010. — Т. 42. — (Dolciani mathematical expositions). — ISBN 978-0-88385-348-1.
- George Edward Martin. Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. — Springer, 1982. — С. 119. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-90636-2.
- O'Keeffe M., Hyde B. G. Plane nets in crystal chemistry // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. — 1980. — Т. 295. — doi:10.1098/rsta.1980.0150. — .
- Major P. A. Macmahon. New Mathematical Pastimes. — University Press, 1921.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 21, Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p288 table // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. Архивная копия от 19 сентября 2010 на Wayback Machine
- Chavey D. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings // Computers & Mathematics with Applications. — 1989. — Т. 17. — doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.
- Kotani M., Sunada T. Standard realizations of crystal lattices via harmonic maps (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 2000. — Vol. 353.
- Sunada T. Topological Crystallography: With a View Towards Discrete Geometric Analysis. — Japan: Springer, 2012. — Т. 6. — (Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences). — [[Служебная:Источники книг/{{{isbn}}}|ISBN {{{isbn}}}]].
Литература для дальнейшего чтения
- Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman, 1987. — С. 58—65, 480 (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings) (Tilings by polygons, #24 of 24 polygonal isohedral types by pentagons). — ISBN 0-7167-1193-1.
- Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 38. — ISBN 0-486-23729-X.
- David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. — London: Penguin, 1991. — С. 23. — ISBN 0140261494.
- Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. — New York: Thames & Hudson, 1987. — С. 77—76, pattern 3. — ISBN 0-500-34033-1.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Cairo Tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
