АссистентНовый вопросИсторияОбласти знаний
Партнёрские проектыСпецпроектыСтать автором
Сменить язык
О РУВИКИ

Список непериодичных наборов плиток

В геометрии замощение — это разбиение плоскости (или другой геометрической структуры) на замкнутые множества (называемые плитками) без промежутков и наложений (отличных от границ плиток)[1]. Замощение считается периодическим, если существуют параллельные переносы в двух независимых направлениях, которые переносят плитки в точно такие же. Такое замощение состоит из одной фундаментальной единицы или примитивной ячейки, которые повторяются бесконечно в двух независимых направлениях[2]. Пример такого замощения показан на иллюстрации справа. Замощения, которые нельзя построить из единственной примитивной ячейки, называются непериодичными. Если данный набор плиток позволяет только непериодичное замощение, такой набор называется непериодичным[3].

Первая таблица объясняет сокращения, используемые во второй таблице. Вторая таблица содержит все известные непериодичные наборы плиток и даёт некоторую дополнительную базовую информацию о каждом наборе. Этот список плиток остаётся неполным.

Объяснения

Сокращение Значение Объяснение
E2 Евклидова плоскость обычная плоскость
H2 Гиперболическая
плоскость		 плоскость, где не выполняется аксиома параллельности
E3 Евклидово
трёхмерное
пространство		 пространство, определённое тремя перпендикулярными осями координат
ЛВП Локально взаимно производные говорят, что две плитки локально взаимно производные друг из друга, если одна плитка получается из другой простым локальным правилом (таким как удаление или вставка ребра)

Список

Рисунок Название Число плиток Простран-
ство		 Дата публикации Ссылки Комментарии
Trilobite and cross.svg
 Плитки «Трилобит» и «Крест» 2 E2 1999 [4] ЛВП с плитками «Стул» (квадрат с вырезанной четвертинкой)
Penrose P1.svg
 Плитки Пенроуза P1 6 E2 1974[Note 1] [5] ЛВП с плитками P2 и P3, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Kite Dart.svg
 Плитки Пенроуза P2 2 E2 1977[Note 2] [6] ЛВП с плитками P1 и P3, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Penrose rhombs.svg
 Плитки Пенроуза P3 2 E2 1978[Note 3] [7] ЛВП с плитками P1 и P2, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Binary tiles.svg
 Двойные плитки 2 E2 1988 [8]

[9]

Хотя плитки похожи на плитки из P3, плитки не являются ЛВП друг из друга. Мозаика разработана в попытках смоделировать расположение атомов в двойных сплавах
Robinson tiles.svg
 Плитки Робинсона 6 E2 1971[Note 4] [10] Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечной иерархии квадратных решёток
Нет рисунка Плитки Амманна A1 6 E2 1977[11] [12] Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечного иерархического двоичного дерева.
Ammann A2.svg
 Плитки Амманна A2 2 E2 1986[Note 5] [13]
Ammann A3.svg
 Плитки Амманна A3 3 E2 1986[Note 5] [13]
Ammann A4.svg
 Плитки Амманна A4 2 E2 1986[Note 5] [13][14] ЛВП с плитками Амманна A5.
Ammann A5.svg
 Плитки Амманна A5 2 E2 1982[Note 6] [15]

[16]

ЛВП с плитками Амманна A4.
Нет рисунка Плитки Пенроуза «Шестиугольник, Треугольник» 2 E2 1997[17] [17][18]
Нет рисунка Плитки «Золотой треугольник»[19] 10 E2 2001[20] [21] Дата соответствует времени открытия правил соединения. Двойственные плиткам Амманна A2
Socolar.svg
 Плитки Соколара 3 E2 1989[Note 7] [22][23] ЛВП с плитками «Щит»
Shield.svg
 Плитки «Щит» 4 E2 1988[Note 8] [24][25] ЛВП с плитками Соколара
Square triangle tiles.svg
 Плитки «Квадрат, Треугольник» 5 E2 1986[26] [27]
Self-replication of sphynx hexidiamonds.svg
 Мозаика «Сфинкс» 91 E2 [28]
Starfish ivyleaf hex.svg
 Плитки «Звезда, лодка, шестиугольник» 3 E2 [29][30][31] ЛВП с плитками Пенроуза P1, P2, P3 и треугольниками Робинсона
Robinson triangle decompositions.svg
 Треугольник Робинсона 4 E2 [12] Плитки ЛВП с плитками Пенроуза P1, P2, P3 и «Звезда, лодка, шестиугольник».
Danzer triangles.svg
 Треугольники Данцера 6 E2 1996[32] [33]
Pinwheel 1.svg
 Плитки «Вертушка» E2 1994[34][35] [36][37] Дата соответствует публикации правил соединения.
Socolar-Taylor tile.svg
 Плитка Соколара — Тейлор 1 E2 2010 [38][39] Несвязная плитка. Непериодичная иерархическая мозаика.
Нет рисунка Плитки Вана 20426 E2 1966 [40]
Нет рисунка Плитки Вана 104 E2 2008 [41]
Нет рисунка Плитки Вана 52 E2 1971[Note 4] [42] Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечной иерархии квадратных решёток
Wang 32 tiles.svg
 Плитки Вана 32 E2 1986 [43] локально производные из плиток Пенроуза.
Нет рисунка Плитки Вана 24 E2 1986 [43] локально производные из плиток A2
Wang 16 tiles.svg
 Плитки Вана 16 E2 1986 [44]

[45]

Производные из плиток A2 и их полос Амманна
Wang 14 tiles.svg
 Плитки Вана 14 E2 1996 [46][47]
Wang 13 tiles.svg
 Плитки Вана 13 E2 1996 [48][49]
Нет рисунка Плитка «Десятиугольная губка» 1 E2 2002 [50][51] Пористая плитка, состоящая из непересекающихся множеств точек
Нет рисунка Строго непериодичные плитки Гудмана—Страусса 85 H2 2005 [52]
Нет рисунка Строго непериодичные плитки Гудмана—Страусса 26 H2 2005 [53]
Goodman-Strauss hyperbolic tile.svg
 Гиперболическая плитка Бороцки (Böröczky) 1 Hn 1974[54] [55][56] Лишь слабо непериодична
Нет рисунка Плитка Шмитта 1 E3 1988 [57] периодична по винту
SCD tile.svg
 Плитка Шмитта-Конвея-Данцера 1 E3 [57] периодична по винту и выпукла
Socolar Taylor 3D.svg
 Плитка Соколара — Тейлор 1 E3 2010 [38][39] Периодична в третьем измерении
Нет рисунка Ромбоэдр Пенроуза 2 E3 1981[58] [59][60][61][62][63][64][65]
Nets for icosahedral aperiodic tile set.svg
 Ромбоэдры Макея-Амманна 4 E3 1981 [66] Обладают икосаэдральной симметрией. Это декорированные ромбоэдры Пенроуза с правилами соединения, обеспечивающими непериодичность.
Нет рисунка Кубики Вана 21 E3 1996 [67]
Нет рисунка Кубики Вана 18 E3 1999 [68]
Нет рисунка Тетраэдры Данцера 4 E3 1989[69] [70]
I and L tiles.png
 Плитки I и L 2 En
для всех
n ≥ 3		 1999 [71]

Примечания

Первые публикации

Литература

  • B. Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns (англ.). — New York: W.H. Freeman and Company, 1986. — [[Служебная:Источники книг/{{{isbn}}}|ISBN {{{isbn}}}]].

Ссылки