Оператор (математика)

Операторные методы применялись задолго до появления общего понятия оператора. В XVIII—XIX веках развивалось символическое исчисление: Ж. Л. Лагранж, а затем О. Коши обращались с символом дифференцирования ${\displaystyle D=d/dx}$ как с алгебраической величиной, формально раскладывая функции от ${\displaystyle D}$ в ряды. В 1880-е годы английский инженер Оливер Хевисайд построил на этой основе операционное исчисление для расчёта электрических цепей; строгое обоснование его методов было получено позднее средствами преобразования Лапласа^[3].

Общая теория операторов выросла из теории интегральных уравнений и задач на собственные значения. Термин «функциональный анализ» ввёл Ж. Адамар для обозначения ветви вариационного исчисления, которую на рубеже XIX—XX веков разрабатывала группа итальянских и французских математиков, в том числе В. Вольтерра, рассматривавший «функции от линий» — прообраз современных функционалов^[4].

Поворотным моментом стала работа шведского математика Э. И. Фредгольма об интегральных уравнениях (1900—1903), давшая толчок как теории интегральных уравнений, так и формированию функционального анализа. В 1904—1910 годах Д. Гильберт в цикле работ об интегральных уравнениях очертил спектральную теорию и ввёл понятие ограниченной квадратичной формы в бесконечном числе переменных; отсюда происходит и термин «спектр»^[5].

В 1910—1920-е годы усилиями Ф. Риса, С. Банаха, Г. Хана сложилась общая теория нормированных пространств и ограниченных линейных операторов; в монографии Банаха Théorie des opérations linéaires (1932) теория приобрела законченный вид. В 1929—1932 годах Дж. фон Нейман, М. Стоун и Рис построили аксиоматическую теорию гильбертовых пространств и спектральную теорию самосопряжённых операторов — во многом под влиянием запросов квантовой механики, где наблюдаемым величинам сопоставляются именно самосопряжённые операторы^[6].

В 1936 году С. Л. Соболев ввёл понятие обобщённой функции (независимо от него в 1940-х годах к нему пришёл Л. Шварц), что позволило корректно определить дельта-функцию и существенно расширило круг задач, доступных операторным методам^[7]. В 1930—1950-е годы в теории операторов получены значительные результаты за счёт применения алгебраических инструментов — операторных и банаховых алгебр^[8].

С теоретико-множественной точки зрения оператор ${\displaystyle A}$, действующий из множества ${\displaystyle X}$ в множество ${\displaystyle Y}$, есть подмножество ${\displaystyle \Gamma _{A}\subset X\times Y}$ прямого произведения этих множеств (график оператора), обладающее свойством однозначности: для каждого ${\displaystyle x\in X}$ в ${\displaystyle \Gamma _{A}}$ содержится не более одной пары вида ${\displaystyle (x,y)}$^[9].

Множество тех ${\displaystyle x}$, для которых такая пара существует, называется областью определения оператора и обозначается ${\displaystyle D_{A}=D(A)\subset X}$; оператор может быть определён не на всём ${\displaystyle X}$. Соответствующий элемент ${\displaystyle y}$ единственн; его называют значением оператора и обозначают ${\displaystyle A(x)}$ или ${\displaystyle Ax}$. Таким образом, операторы — всегда однозначные отображения; многозначные соответствия (например, ${\displaystyle z\mapsto {\sqrt[{n}]{z}}}$ в комплексной области) операторами не называют, для них используют термины «многозначное отображение» или «соответствие»^[10].

Всюду далее элементы векторных пространств (в том числе функции, рассматриваемые как элементы функциональных пространств) обозначаются строчными латинскими буквами ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ без дополнительного выделения полужирным начертанием или стрелкой; операторы — прописными латинскими ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle P}$; матрицы операторов — прописными с двумя индексами, например ${\displaystyle T_{kl}}$; скаляры — ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle \lambda }$. Компоненты вектора ${\displaystyle x}$ обозначаются ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$; нумерация во всех формулах начинается с единицы.

Множество ${\displaystyle \operatorname {Im} A=\{Ax:x\in D_{A}\}}$ называется образом (множеством значений) оператора, а множество ${\displaystyle \ker A=\{x\in D_{A}:Ax=0\}}$ — его ядром (для оператора, действующего в векторных пространствах) (В математике термин ядро оператора может относится к двум объектам. Пусть дан линейный оператор : ${\displaystyle A:V\to W}$. Ядром оператора ${\displaystyle A}$ называется множество всех векторов из пространства ${\displaystyle V}$, которые оператор переводит в нулевой вектор: ${\displaystyle \ker A=\{x\in V:Ax=0\}}$. Ядро также называют нулевым пространством оператора. В интегральных уравнениях и функциональном анализе ядром оператора называют функцию, стоящую под знаком интеграла. Если оператор задан формулой ${\displaystyle (Af)(x)=\int K(x,s)f(s)\,ds}$, то функция ${\displaystyle K(x,s)}$ является ядром интегрального оператора)^[11][9].

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — векторные пространства, то в множестве всех операторов из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ можно выделить класс линейных операторов.

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — топологические векторные пространства, то в множестве операторов из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ естественно выделяется класс непрерывных операторов, а также класс линейных ограниченных операторов и класс линейных компактных операторов (называемых также вполне непрерывными)^[12].

Для линейных операторов между нормированными пространствами непрерывность равносильна ограниченности^[13]; для нелинейных операторов это не так.

Оператор, действующий на пространстве функций, сопоставляет каждой функции из области определения единственную функцию: если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — множества функций, то оператор есть однозначное соответствие ${\displaystyle \Gamma _{A}\subset X\times Y}$. Результат применения оператора ${\displaystyle A}$ к функции ${\displaystyle x(t)}$ записывают в виде ${\displaystyle y(t)=A\{x(t)\}}$ или, проще, ${\displaystyle y=Ax}$.

Примеры подобных преобразований — умножение на число ${\displaystyle y(t)=cx(t)}$ и дифференцирование ${\displaystyle y(t)={\dfrac {dx(t)}{dt}}}$. Соответствующие операторы называются операторами умножения на число, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т. д.

Операторы, изменяющие аргумент функции, называются операторами преобразования или преобразованиями. Преобразование подменяет координатные оси, отображает функцию в другое пространство. Например, преобразование Фурье переводит функцию из временно́й области в частотную:

${\displaystyle F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-it\omega }\,dt={\mathcal {F}}\{f(t)\}.}$

Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции ${\displaystyle y}$, вообще говоря, в каждой точке ${\displaystyle t}$ зависит не только от ${\displaystyle x(t)}$, а от значений функции ${\displaystyle x}$ во всех точках. Поясним на примере преобразования Фурье: значение этого преобразования (спектр функции) в точке ${\displaystyle \omega }$ меняется при изменении исходной функции в окрестности любой точки ${\displaystyle t}$.

Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свёртки функции с весом есть много общих свойств.

Фундаментальным для практики является класс линейных операторов; он же наиболее исследован. В качестве примера можно привести умножение вектора-столбца на матрицу: если ${\displaystyle A}$ — матрица размером ${\displaystyle m\times n}$ (${\displaystyle m}$ строк и ${\displaystyle n}$ столбцов), то произведение ${\displaystyle Ax}$ определено для ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ и принадлежит ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, то есть оператор ${\displaystyle x\mapsto Ax}$ действует из ${\displaystyle n}$-мерного пространства в ${\displaystyle m}$-мерное.

Произведение ${\displaystyle Ax}$ определено не при любых размерностях: число столбцов матрицы обязано совпадать с числом компонент вектора. Отсюда видно, что порядок сомножителей существен — выражение ${\displaystyle xA}$ для вектора-столбца ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ при ${\displaystyle m\neq n}$ смысла не имеет, а размер результата определяется числом строк: матрица «поглощает» ${\displaystyle n}$ координат и выдаёт ${\displaystyle m}$. В частности, при ${\displaystyle m=n}$ оператор действует из пространства в себя, и только в этом случае осмысленны его степени ${\displaystyle A^{2},\;A^{3},\;\ldots }$ и понятие собственного вектора.

Оператор ${\displaystyle L}$, действующий из векторного пространства в векторное, называется линейным, если он обладает двумя свойствами^[14]:

1. аддитивность — оператор применяется почленно к сумме аргументов:

1. ${\displaystyle L(x_{1}+x_{2})=L(x_{1})+L(x_{2});}$

1. однородность — скаляр ${\displaystyle c}$ можно выносить за знак оператора:

1. ${\displaystyle L(cx)=cL(x).}$

Из однородности при ${\displaystyle c=0}$ следует, что для всякого линейного оператора ${\displaystyle L(0)=0}$.

Оператор вида

${\displaystyle L(x)=L_{0}(x)+b,}$

где ${\displaystyle L_{0}}$ — линейный оператор, а ${\displaystyle b}$ — фиксированный вектор, называется аффинным. При ${\displaystyle b\neq 0}$ он не является линейным: для него ${\displaystyle L(0)=b\neq 0}$, нарушены и аддитивность, и однородность. В литературе по дифференциальным уравнениям такие операторы иногда называют линейными неоднородными, имея в виду, что уравнение ${\displaystyle L_{0}(x)=-b}$ называется линейным неоднородным; сам оператор при этом линейным не является^[15].

В случае линейного преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) новые значения ${\displaystyle y_{k}}$ линейно выражаются через старые значения ${\displaystyle x_{l}}$:

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=1}^{n}T_{kl}\,x_{l},\qquad k=1,\ldots ,m.}$

Здесь ${\displaystyle T=(T_{kl})}$ — матрица размера ${\displaystyle m\times n}$: первый индекс ${\displaystyle k}$ нумерует строки и пробегает значения от 1 до ${\displaystyle m}$, второй индекс ${\displaystyle l}$ нумерует столбцы и пробегает значения от 1 до ${\displaystyle n}$. Суммирование ведётся по второму индексу, поэтому исходный вектор ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ должен иметь ровно ${\displaystyle n}$ компонент, а результат ${\displaystyle y=(y_{1},\ldots ,y_{m})}$ имеет ${\displaystyle m}$ компонент. Таким образом, оператор ${\displaystyle x\mapsto Tx}$ действует из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов заменяется функцией двух переменных ${\displaystyle K(t,\;\omega )}$, называемой ядром линейного интегрального преобразования:

${\displaystyle g(t)=\int \limits _{V}\!K(t,\omega )f(\omega )\,d\omega .}$

Спектр может быть и дискретным; тогда ${\displaystyle f(\omega )}$ заменяется вектором с компонентами ${\displaystyle w_{i}}$, и ${\displaystyle g(t)}$ представимо конечным или бесконечным рядом функций:

${\displaystyle g(t)=\sum _{i=1}^{n}T_{i}(t)\,w_{i}.}$

Норма оператора

Для линейного оператора ${\displaystyle A}$, действующего из нормированного пространства ${\displaystyle X}$ в нормированное пространство ${\displaystyle Y}$, величина

${\displaystyle \|A\|=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{Y}}{\|x\|_{X}}}=\sup _{\|x\|_{X}\leqslant 1}\|Ax\|_{Y}}$

называется нормой оператора. Оператор ограничен тогда и только тогда, когда его норма конечна. Множество всех ограниченных линейных операторов из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ само образует нормированное пространство, обозначаемое ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$; если ${\displaystyle Y}$ полно, то полно и ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$^[16].

Если операторы согласованы по размерностям, то есть ${\displaystyle B\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle A\colon Y\to Z}$, то определена их композиция ${\displaystyle AB\colon X\to Z}$, и норма обладает свойством субмультипликативности:

${\displaystyle \|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|.}$

В конечномерном случае это означает, что для матрицы ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle p\times q}$ и матрицы ${\displaystyle B}$ размера ${\displaystyle q\times r}$ произведение ${\displaystyle AB}$ имеет размер ${\displaystyle p\times r}$: внутренние размерности должны совпадать.

Спектр оператора

Подробнее

Спектр оператора

Пусть ${\displaystyle A}$ — ограниченный линейный оператор, действующий из комплексного банахова пространства ${\displaystyle X}$ в себя. Число ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ называется регулярным для ${\displaystyle A}$, если оператор ${\displaystyle A-\lambda E}$ имеет ограниченный обратный, определённый на всём ${\displaystyle X}$; сам оператор ${\displaystyle R_{\lambda }=(A-\lambda E)^{-1}}$ называется резольвентой. Множество всех нерегулярных чисел называется спектром оператора и обозначается ${\displaystyle \sigma (A)}$^[17].

В конечномерном пространстве спектр совпадает с множеством собственных значений матрицы оператора. В бесконечномерном случае это не так: спектр может вовсе не содержать собственных значений. Например, оператор умножения на независимую переменную ${\displaystyle (Af)(t)=t\,f(t)}$ в пространстве ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$ собственных векторов не имеет, а его спектр есть весь отрезок ${\displaystyle [0,\,1]}$.

Спектр ограниченного оператора непуст, замкнут и содержится в круге радиуса ${\displaystyle \|A\|}$^[18]. Для самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве справедлива спектральная теорема, представляющая оператор в виде интеграла по спектральной функции (разложению единицы) ${\displaystyle E_{\lambda }}$:

${\displaystyle A=\int \limits _{\sigma (A)}\lambda \,dE_{\lambda },}$

где ${\displaystyle E_{\lambda }}$ — монотонное семейство ортогональных проекторов. Это представление обобщает разложение симметричной матрицы по собственному базису и служит основным инструментом при изучении операторов, в том числе неограниченных^[19].

Оператор ${\displaystyle O}$, ставящий в соответствие каждому вектору ${\displaystyle x}$ нулевой вектор ${\displaystyle 0}$, очевидно, линеен; он называется нулевым оператором^[20].

Оператор ${\displaystyle E}$, ставящий в соответствие каждому вектору ${\displaystyle x}$ сам вектор ${\displaystyle x}$, очевидно, линеен; он называется единичным, или тождественным, оператором:

${\displaystyle Ex=x.}$

В матричной записи он определяется равенством

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}E_{ik}\,x_{k}=x_{i},\qquad i=1,\ldots ,n,}$

где ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, а единичная матрица ${\displaystyle E}$ имеет размер ${\displaystyle n\times n}$. Тождественный оператор существует только как оператор из пространства в себя: для неквадратной матрицы равенство ${\displaystyle Ex=x}$ невозможно, поскольку левая и правая части лежали бы в пространствах разной размерности. Единичная матрица ${\displaystyle E_{ik}}$ записывается большей частью с помощью символа Кронекера ${\displaystyle \delta _{ik}}$: имеем ${\displaystyle \delta _{ik}=1}$ при ${\displaystyle i=k}$ и ${\displaystyle \delta _{ik}=0}$ при ${\displaystyle i\neq k}$.

Формально тождественный оператор записывают и в интегральном виде

${\displaystyle \int \limits _{\alpha }^{\beta }\!\delta (t-s)\,x(s)\,ds=x(t),}$

где ${\displaystyle \delta }$ — дельта-функция Дирака. Следует подчеркнуть, что ${\displaystyle \delta }$ не является функцией в обычном смысле: не существует функции, равной нулю всюду, кроме одной точки, и имеющей единичный интеграл (у такой функции интеграл Лебега равен нулю). Дельта-функция определяется как обобщённая функция (распределение) — непрерывный линейный функционал на пространстве основных функций, действующий по правилу ${\displaystyle \langle \delta ,\varphi \rangle =\varphi (0)}$, где ${\displaystyle \varphi }$ — основная функция^[21].

Соответственно, написанный выше интеграл не является интегралом Римана или Лебега: это условная запись действия функционала ${\displaystyle \delta }$ на функцию ${\displaystyle x}$, принятая в физической и инженерной литературе. Строгий смысл ей придаёт теория обобщённых функций: символ ${\displaystyle \int \delta (t-s)x(s)\,ds}$ по определению означает ${\displaystyle \langle \delta (\cdot -t),x\rangle =x(t)}$^[21]. Тождественный оператор не является интегральным оператором с обычным (функциональным) ядром: если бы такое ядро из ${\displaystyle L^{2}}$ существовало, тождественный оператор был бы компактным, что в бесконечномерном пространстве невозможно^[9].

В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, унарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:

• префиксная — первым идёт оператор, операнды следом:

${\displaystyle Q(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n});}$

• постфиксная — символ оператора следует за операндами:

${\displaystyle (x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\;Q;}$

• инфиксная — оператор вставляется между операндами, применяется преимущественно с бинарными операторами:

${\displaystyle x_{1}\;Q\;x_{2};}$

• позиционная — знак оператора опускается, оператор присутствует неявно. Чаще всего не пишется знак произведения (переменных, численного значения на физическую единицу, матриц, композиции функций), например 3 кг. Такая способность одного оператора действовать над разнородными сущностями достигается перегрузкой операторов;

• подстрочная или надстрочная слева или справа; главным образом используется для операций возведения в степень и выбора элемента вектора по индексу.

Запись оператора часто принимает сокращённую форму от общепринятой записи функций. При использовании префиксной или постфиксной записи скобки опускаются в большинстве случаев, если известна арность оператора. Так, унарный оператор ${\displaystyle Q}$ над функцией ${\displaystyle f}$ обычно для краткости записывается ${\displaystyle Qf}$ вместо ${\displaystyle Q(f)}$; скобками пользуются для ясности, например при операции над произведением ${\displaystyle Q(fg)}$. Оператор ${\displaystyle Q}$, действующий на ${\displaystyle f(x)}$, записывают также ${\displaystyle (Qf)(x)}$. Для обозначения некоторых операторов вводятся специальные знаки, например унарные ${\displaystyle n!}$ (факториал, справа от операнда), ${\displaystyle -n}$ (отрицание, слева), или каллиграфические символы, как в случае преобразования Фурье ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}}$.