Уравнение Колмогорова — Чепмена

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова—Чепмена по ${\displaystyle s}$ при ${\displaystyle s=0}$ получаем прямое уравнение Колмогорова:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {P} (t)}{dt}}=\mathbf {P} (t)\mathbf {Q} ,}$

где

${\displaystyle \mathbf {Q} =\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {P} (h)-\mathbf {1} }{h}}.}$

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова — Чепмена по ${\displaystyle t}$ при ${\displaystyle t=0}$ получаем обратное уравнение Колмогорова:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {P} (t)}{dt}}=\mathbf {Q} \mathbf {P} (t).}$

Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ уже не обязательно непрерывен, и может быть определён не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.

Рассмотрим однородные марковские случайные процессы в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ для которых оператор переходных вероятностей ${\displaystyle \mathbf {P} (t)}$ задаётся переходной плотностью ${\displaystyle p(t,x,y)}$: вероятность перехода из области ${\displaystyle U}$ в область ${\displaystyle W}$ за время ${\displaystyle t}$ есть ${\displaystyle \int \limits _{U}dx\,\int \limits _{V}dy\,p(t,x,y)}$. Уравнение Колмогорова—Чепмена для плотностей имеет вид:

${\displaystyle p(t+s,x,y)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)p(s,z,y)\,dz.}$

При ${\displaystyle t>0,\,t\to 0}$ переходная плотность ${\displaystyle p(t,x,y)}$ стремится к δ-функции (в смысле слабого предела обобщённых функций):${\displaystyle \lim _{t\to 0}p(t,x,y)=\delta (x-y)}$. Это означает, что ${\displaystyle \lim _{t\to 0}\mathbf {P} (t)=\mathbf {1} .}$ Пусть существует предел (также обобщённая функция):

${\displaystyle q(x,y)=\lim _{h\to 0}{\frac {p(h,x,y)-\delta (x-y)}{h}}.}$

Тогда оператор ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ действует на функции ${\displaystyle f(x)}$, определённые на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ как ${\displaystyle (\mathbf {Q} f)(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}q(x,y)f(y)\,dy,}$ и прямое уравнение Колмогорова принимает вид:

${\displaystyle {\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)q(z,y)\,dz,}$

а обратное уравнение Колмогорова

${\displaystyle {\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}q(x,z)p(t,z,y)\,dz.}$

Пусть оператор ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ — дифференциальный оператор второго порядка с непрерывными коэффициентами:

${\displaystyle (\mathbf {Q} f)={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}a^{ij}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}+\sum _{j}b^{j}(x){\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}.}$

(это означает, что ${\displaystyle q(x,y)}$ есть линейная комбинация первых и вторых производных ${\displaystyle \delta (x-y)}$ с непрерывными коэффициентами). Матрица ${\displaystyle a^{ij}}$ симметрична. Пусть она положительно определена в каждой точке (диффузия). Прямое уравнение Колмогорова имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}(a^{ij}(y)p(t,x,y))-\sum _{j}{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}(b^{j}(y)p(t,x,y)).}$

Это уравнение называется уравнением Фоккера — Планка. Вектор ${\displaystyle b^{j}}$ в физической литературе называется вектором сноса, а матрица ${\displaystyle a^{ij}}$ — тензором диффузии. Обратное уравнение Колмогорова в этом случае:

${\displaystyle {\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}a^{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}p(t,x,y)+\sum _{j}b^{j}(x){\frac {\partial }{\partial x^{j}}}p(t,x,y).}$