Гамильтониан (квантовая механика)

Гамильтониан — оператор полной энергии квантовой системы, определяющий её временную эволюцию и имеющий спектр, соответствующий возможным значениям энергии.

Уравнение Шрёдингера связывает гамильтониан с изменением состояния во времени, а знание состояния в начальный момент позволяет получить его в любой последующий момент. При H, не зависящем от времени, решение выражается через операторную экспоненту, определяемую степенным рядом. Оператор эволюции U(t) унитарен, а семейство таких операторов образует однопараметрическую группу, что приводит к принципу детального равновесия.

При отсутствии потенциальной энергии гамильтониан сводится к оператору кинетической энергии. В одном измерении он пропорционален второй производной по координате, а в трёх измерениях — сумме вторых производных по всем координатам.

Для частицы в постоянном потенциале гамильтониан в одном измерении включает оператор кинетической энергии и константу V0; в трёх измерениях аналогично добавляется константа V0.

В одномерном случае потенциал гармонического осциллятора пропорционален квадрату координаты и определяется угловой частотой и массой. Для трёх измерений полный гамильтониан представляет собой сумму трёх одномерных гамильтонианов по каждой координате.

В квантовой теории поля полевые функции становятся операторами. Для взаимодействующих полей гамильтониан складывается из энергии свободных полей и энергии взаимодействия. В отличие от лагранжиана, он не даёт явной релятивистской инвариантности, хотя для релятивистских систем она доказуема.

Гамильтониа́н ( ${\hat {H}}$ или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы (ср. функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.

Его спектр — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.

Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является самосопряжённым оператором.

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если $\left|\psi (t)\right\rangle$ — состояние системы в момент времени t, то

H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial  \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .

Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то

\left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .

Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.

По свойству *-гомоморфизма, оператор

U=e^{-iHt/\hbar }

унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.

Если гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.

Свободная частица

Если у частицы нет потенциальной энергии, то гамильтониан самый простой. Для одного измерения:

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}

и для трёх измерений:

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta

Потенциальная яма

Для частицы в постоянном потенциале V = V₀ (нет зависимости от координаты и времени) в одном измерении гамильтониан такой:

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}

В трёх измерениях:

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}

Простой гармонический осциллятор

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал зависит от координаты (но не от времени) как

V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2},

где угловая частота $\omega$ коэффициент упругости k и масса m осциллятора удовлетворяют соотношению

\omega ^{2}={\frac {k}{m}},

поэтому гамильтониан имеет вид

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}.

Для трёх измерений гамильтониан принимает вид

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2},

где трёхмерный радиус-вектор r, его модуль определяется так:

r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}

Полный гамильтониан — это сумма одномерных гамильтонианов:

{\begin{aligned}{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\\\end{aligned}}

В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке пространства-времени, в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергии их взаимодействия. В отличие от лагранжиана, гамильтониан не даёт явно релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.

Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с.
Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c.
Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2008. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — 3000 экз. — ISBN 978-5-9221-0530-9.

Производные латинской буквы H, h
Буквы	Ĥĥ H̭h̭ Ħħ Ƕƕ Ȟȟ Ḣḣ Ḥḥ Ḧḧ Ḩḩ Ḫḫ H̱ẖ Ⱨⱨ Ɥɥ ɥ̊ Ɦɦ ɧ Ꜧꜧ ʜ ʮ ʯ Ⱶⱶ Ꟶꟶ ꞕ H́h́ H̄h̄ H̓h̓ H̔h̔ ᵺ H̐h̐ H̤h̤ H̦h̦
Символы	ℍ ℋ ℌ ℎ ℏ Ⓗⓗ ⒣

Гамильтониан (квантовая механика)

Уравнение Шрёдингера

Выражения для гамильтониана в координатном представлении

Свободная частица

Потенциальная яма

Простой гармонический осциллятор

В квантовой теории поля

Ссылки

Дополнительно по теме

Категории