История несобственного интеграла

Несобственный интеграл — обобщение определённого интеграла на случаи, когда промежуток интегрирования неограничен или подынтегральная функция имеет особенности (уходит в бесконечность или терпит разрыв) на границах или внутри промежутка. Формально несобственный интеграл определяется как предел обычных определённых интегралов при стремлении границ интегрирования к бесконечности или к особой точке. В зависимости от поведения функции такие интегралы могут сходиться (иметь конечное значение) или расходиться; для проверки сходимости используются специальные аналитические признаки (Дирихле, Абеля, сравнения и др.). Несобственные интегралы широко применяются в математической физике, теории вероятностей, теории сигналов и функциональном анализе, где они позволяют описывать процессы на бесконечных временных или пространственных интервалах, а также работать с функциями, имеющими сингулярности.

Хотя понятие интеграла, а тем более несобственного интеграла, было формализовано лишь в XVII–XIX веках, задачи, сводящиеся к вычислению площадей, объёмов и длин кривых, решались математиками Древнего Египта, Вавилонии, Китая, Индии и особенно Древней Греции. При этом использовались разнообразные приёмы, которые можно рассматривать как интуитивные прообразы интегрирования.

Уже в Московском математическом папирусе (ок. 1850 г. до н. э.) содержится задача (задача № 14) на вычисление объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием. Приведённая формула

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}(a^{2}+ab+b^{2}),}$

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — стороны оснований, а ${\displaystyle h}$ — высота, точна и эквивалентна результату, получаемому интегрированием ^[1][2]. Вопрос, как именно египтяне получили эту формулу, является дискуссионным; возможно, что путём эмпирического обобщения и разбиения тела на слои^[3]. Вавилонские математики (ок. 2000–1600 гг. до н. э.) умели находить площади трапеций и объёмы усечённых конусов, используя приближённые и точные правила, зафиксированные на клинописных табличках^[4].

Наиболее разработанным «доинтегральным» методом был метод исчерпывания (μέθοδος τῆς ἐξαντλήσεως), восходящий к Евдоксу Книдскому (ок. 408–355 до н. э.) и систематически применённый Евклидом и Архимедом. Идея метода состоит в приближении криволинейной фигуры вписанными и описанными многоугольниками (или многогранниками), площади (объёмы) которых можно вычислить, и в доказательстве от противного того, что искомая величина заключена между двумя сколь угодно близкими оценками^[5].

Евдокс сформулировал аксиому Архимеда — Евдокса: для любых двух величин ${\displaystyle A<B}$ существует натуральное ${\displaystyle n}$ такое, что ${\displaystyle nA>B}$. Эта аксиома стала логическим фундаментом метода исчерпывания и, по существу, играла роль, аналогичную аксиоме полноты вещественных чисел в современном анализе^[6]. С помощью метода исчерпывания Евдокс доказал («Начала», книга XII):

• площадь круга пропорциональна квадрату диаметра (XII, 2);

• объём конуса равен одной трети объёма цилиндра с тем же основанием и высотой (XII, 10);

• объём шара пропорционален кубу диаметра (XII, 18)^[7].

Архимед (ок. 287–212 до н. э.) довёл метод исчерпывания до совершенства и фактически выполнял вычисления, эквивалентные определённому интегрированию:

• Квадратура параболы. В трактате «Квадратура параболы» Архимед доказал, что площадь параболического сегмента составляет ${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}}$ площади вписанного треугольника. Для этого он суммировал бесконечную геометрическую прогрессию — это одна из первых явных бесконечных сумм в истории математики^[8].

По существу, Архимед вычислил ::${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{k}}}={\frac {4}{3}},}$ : что концептуально предвосхищает вычисление определённых интегралов степенных функций, например ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2},dx={\frac {1}{3}}}$.

• Площадь круга и приближение числа π. Архимед вписывал и описывал правильные многоугольники вплоть до 96-угольника, получив оценку ${\displaystyle 3{\tfrac {10}{71}}<\pi <3{\tfrac {1}{7}}}$^[9].

• Объём и площадь поверхности шара. В трактате «О шаре и цилиндре» Архимед доказал, что объём шара равен ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ объёма описанного цилиндра — результат, которым он особенно гордился^[10].

• Механический метод. В «Послании к Эратосфену» (трактат «Метод», обнаружен в палимпсесте в 1906 году) Архимед описал эвристический приём: фигура мысленно разрезается на бесконечно тонкие сечения, которые «взвешиваются» на рычаге. Этот подход близок к идее интегрирования, хотя сам Архимед считал его лишь средством поиска ответа, а не строгим доказательством^[11].

Китайские математики достигали аналогичных результатов независимо от греческой традиции. Лю Хуэй (III в. н. э.) в комментарии к «Математике в девяти книгах» вычислил число π методом, аналогичным методу исчерпывания, последовательно удваивая число сторон вписанного многоугольника от 6 до 3072 и получив значение ${\displaystyle \pi \approx 3{,}1416}$^[12].

Цзу Чунчжи (V в. н. э.) уточнил оценку: ${\displaystyle 3{,}1415926<\pi <3{,}1415927}$ — точность, не превзойдённая в мире почти тысячу лет^[13]. Цзу Чунчжи продолжил использовать алгоритм Лю Хуэя. Согласно сведениям из «Суй шу» (официальной истории династии Суй, VII в.), он довёл вычисления до правильного 12 288-угольника (${\displaystyle n=12\,288=6\times 2^{11}}$) или, по некоторым реконструкциям, до 24 576-угольника (${\displaystyle n=24\,576=6\times 2^{12}}$)^[14][15].

Цзу Гэн (сын Цзу Чунчжи, V в.) применил принцип Кавальери (за тысячу лет до Кавальери) для вывода формулы объёма шара, рассуждая в терминах равенства площадей параллельных сечений^[16].

В индийской математической традиции также встречаются приёмы, близкие к интегрированию. Ариабхата (V–VI вв.) вычислял суммы последовательностей натуральных степеней ${\displaystyle \sum k,\ \sum k^{2},\ \sum k^{3}}$, которые в пределе дают интегралы степенных функций^[17].

Математики Керальской школы (XIV–XVI вв.), прежде всего Мадхава (ок. 1340–1425) и Джьештхадева (XVI в., трактат «Юктибхаша»), получили разложения тригонометрических и обратных тригонометрических функций в степенные ряды:

${\displaystyle \operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots }$

Этот ряд (ряд Мадхавы — Лейбница) был открыт ими примерно за 250 лет до Лейбница и Грегори. Суммирование бесконечного ряда концептуально тесно связано с предельными переходами и теорией бесконечных процессов, лежащими в основе интегрального исчисления^[18].

Для обоснования своих результатов керальские математики применяли разбиение дуги окружности на малые части, суммирование бесконечно малых площадей и фактически вычисляли пределы сумм, что можно рассматривать как прообраз интеграла Римана^[19].

Древние математики решали задачи, ныне формулируемые на языке интегрального исчисления, следующими основными приёмами:

Все эти методы позволяли получать частные результаты для конкретных фигур и функций, но не давали общего алгоритма вычисления площадей и объёмов. Создание такого алгоритма стало возможным лишь с появлением:

• алгебраической символики (XVI–XVII вв.);
• понятия функции;
• основной теоремы анализа (Ньютон — Лейбниц), которая связала задачу о площади (интегрирование) с задачей о касательной (дифференцирование) и тем самым открыла путь к систематическому — в том числе несобственному — интегрированию^[20].

Задачи, приводящие к несобственным интегралам, возникали ещё до создания формального интегрального исчисления. В 1647 году Эванджелиста Торричелли показал, что тело вращения, образованное гиперболой ${\displaystyle y=1/x}$ при ${\displaystyle x\geqslant 1}$ вокруг оси абсцисс, имеет конечный объём, хотя простирается в бесконечность^[21]. Этот результат, получивший название «парадокс Торричелли» (или «труба Гавриила»), привел к дискуссиям среди математиков и философов, поскольку противоречил геометрической интуиции^[22]. Во второй половине XVII века Джон Валлис, Джеймс Грегори и другие математики вычисляли площади и объёмы фигур, связанных с бесконечными промежутками, пользуясь методом неделимых и ранними формами предельного перехода^[23].

Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц, независимо разработавшие интегральное исчисление в 1660–1680-х годах, не выделяли несобственные интегралы в отдельный класс. Тем не менее оба рассматривали задачи, в которых промежуток интегрирования являлся бесконечным. Ньютон, например, изучал сходимость рядов и связанных с ними интегралов в «Началах» (1687) и в трактате «De analysi per aequationes numero terminorum infinitas» (1669, опубл. 1711)^[24]. Лейбниц в переписке с Иоганном Бернулли в 1690-х годах обсуждал вычисление интегралов по бесконечным промежуткам и вопросы их конечности, хотя строгого понятия сходимости сформулировано не было^[25].

В XVIII веке Леонард Эйлер систематически использовал интегралы по бесконечным промежуткам и интегралы от функций с особенностями, не всегда заботясь о строгом обосновании сходимости. Именно Эйлеру принадлежат первые вычисления ряда классических несобственных интегралов.

• гамма-функция ${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{+\infty }t^{s-1}e^{-t},dt}$ (1729)^[26];
• Интеграл Гаусса (также известный как интеграл Эйлера — Пуассона) ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}},dx={\sqrt {\pi }}}$^[27];
• бета-функция ${\displaystyle B(p,q)=\int _{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1},dx}$.

Эйлер активно применял подстановки и формальные преобразования в несобственных интегралах, что нередко приводило к корректным результатам, но иногда — к парадоксам, связанным с расходимостью^[28].

Решающий шаг к строгому определению несобственного интеграла был сделан Огюстеном Луи Коши. В курсе лекций «Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal» (1823) Коши:

• дал определение определённого интеграла как предела интегральных сумм;
• определил интеграл по бесконечному промежутку как предел ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x),dx=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x),dx}$;
• ввёл понятие интеграла от неограниченной функции через предельный переход, вырезая окрестность особой точки;
• сформулировал критерий Коши сходимости в терминах частичных интегралов^[29].

Именно Коши принадлежит введение термина «сингулярный интеграл» (intégrale singulière) для обозначения интегралов с особенностями^[30].

В тех случаях, когда несобственный интеграл расходится в обычном смысле, Коши предложил понятие главного значения (valeur principale, 1822):

${\displaystyle \mathrm {v.p.} !\int _{-\infty }^{+\infty }f(x),dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}f(x),dx,}$

а также симметричный предел при обходе особой точки^[31]. Это понятие оказалось важным в комплексном анализе и теории распределений.

Бернхард Риман в диссертации «Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» (1854, опубл. 1868) уточнил понятие определённого интеграла, сформулировав необходимое и достаточное условие интегрируемости в терминах колебаний функции^[32]. На основе интеграла Римана несобственные интегралы получили более чёткую классификацию: - первого рода — по бесконечному промежутку; - второго рода — от неограниченной функции на конечном промежутке. Жан Гастон Дарбу в 1870-х годах предложил эквивалентную формулировку через верхние и нижние суммы (интеграл Дарбу), которая упростила изложение теории и доказательства свойств несобственных интегралов^[33].

Параллельно с уточнением определений развивалась теория сходимости несобственных интегралов. Основные признаки были сформулированы по аналогии с признаками сходимости рядов:

Признак Дирихле — перенесён Петером Густавом Лежёном Дирихле из теории рядов на интегралы в курсе лекций 1850–1860-х годов^[34].

Признак Абеля — восходит к работам Нильса Хенрика Абеля по рядам (1826) и был распространён на интегралы позднее^[35].

Признаки сравнения получили систематическое изложение в работах Пауля Дюбуа-Реймона (1870–1880-е годы)^[36].

Хотя Карл Вейерштрасс не публиковал отдельной теории несобственных интегралов, его работы по строгому обоснованию математического анализа создали необходимый логический фундамент для их современного определения^[37]. В 1860–1880-х годах Вейерштрасс разработал теорию пределов, ввёл строгое ε-δ-определение непрерывности и дифференцируемости, а также сформулировал понятие равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов^[38].

Именно аппарат равномерной сходимости позволил впоследствии корректно исследовать предельные переходы под знаком интеграла, что является центральным вопросом при анализе несобственных интегралов первого и второго рода^[39]. Благодаря программе «арифметизации анализа», реализованной Вейерштрассом и его школой (включая Г. Кантора и Р. Дедекинда), интегральное исчисление освободилось от эвристических и геометрических представлений античной математики и было переведено на язык строгой логики^[40].

Таким образом, хотя непосредственное определение, классификацию и первые признаки сходимости несобственных интегралов разработали О. Коши и Б. Риман, именно работы Вейерштрасса обеспечили тот аксиоматический и предельный аппарат, без которого современная теория интегрирования не могла бы получить завершённую форму^[41].

В 1902 году Анри Лебег в диссертации «Intégrale, longueur, aire» построил интеграл Лебега, который существенно расширил класс интегрируемых функций^[42]. В рамках теории Лебега многие несобственные интегралы первого и второго рода оказываются обычными интегралами Лебега: если ${\displaystyle f\geqslant 0}$, то несобственный интеграл Римана совпадает с интегралом Лебега; теорема о монотонной сходимости и теорема Лебега о мажорируемой сходимости дают мощные инструменты для обоснования предельных переходов под знаком интеграла^[43]. При этом условно сходящиеся несобственные интегралы (например, ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}},dx}$) не являются интегралами Лебега, поскольку интеграл от модуля расходится^[44]. Это обстоятельство показывает, что понятие несобственного интеграла Римана сохраняет самостоятельное значение и в контексте теории Лебега. Дальнейшие обобщения — интеграл Хенстока — Курцвейля (1957–1958) — позволили интегрировать все функции, допускающие несобственный интеграл Римана, без необходимости предельного перехода^[45].

Даже после того, как теория пределов была строго обоснована Коши и Вейерштрассом, несобственные интегралы сохранили ряд свойств, которые кажутся парадоксальными с точки зрения логики или геометрической интуиции. В отличие от формальных преобразований Эйлера, это — строго доказанные математические факты.

Самый известный геометрический парадокс, связанный с несобственными интегралами, был открыт Эванджелистой Торричелли в 1641 году.

Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком функции ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$ при ${\displaystyle x\geqslant 1}$, осью абсцисс и прямой ${\displaystyle x=1}$. Вращая эту фигуру вокруг оси ${\displaystyle Ox}$, мы получаем бесконечную поверхность, напоминающую раструб или трубу («Труба Гавриила»).

Вычислим её объём с помощью несобственного интеграла:

${\displaystyle V=\pi \int _{1}^{+\infty }y^{2}\,dx=\pi \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\pi \left[-{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{+\infty }=\pi .}$

Объём конечен и равен ${\displaystyle \pi }$.

Теперь вычислим площадь поверхности этой трубы:

${\displaystyle S=2\pi \int _{1}^{+\infty }y{\sqrt {1+(y')^{2}}}\,dx=2\pi \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\,dx.}$

Поскольку корень всегда больше 1, справедливо неравенство:

${\displaystyle S>2\pi \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=+\infty .}$

Площадь поверхности бесконечна.

Формулировка парадокса. Труба имеет конечный объём, но бесконечную площадь внутренней поверхности. На языке физики это означает, что трубу можно доверху заполнить конечным количеством краски (объёмом ${\displaystyle \pi }$), но этой краской принципиально невозможно выкрасить её внутреннюю поверхность (так как для этого потребовалось бы бесконечно много краски).

Разрешение парадокса кроется в том, что интеграл площади расходится логарифмически, а интеграл объёма сходится степенным образом: толщина слоя краски становится тоньше любого размера молекул гораздо быстрее, чем труба уходит в бесконечность^[46].

В теории числовых рядов существует необходимое условие сходимости: если ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ сходится, то предел его общего члена равен нулю (${\displaystyle a_{n}\to 0}$). Интуитивно кажется, что для несобственного интеграла должно выполняться аналогичное правило: если ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(x)\,dx}$ сходится, то график функции должен «прижиматься» к оси абсцисс, то есть ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=0}$.

Парадокс. Это не так. Существуют положительные, непрерывные функции, интеграл от которых сходится, но сама функция не ограничена (и тем более не стремится к нулю).

Пример («функция-всплеск»). Построим непрерывную функцию ${\displaystyle f(x)\geqslant 0}$, которая почти везде равна нулю, но в каждой целой точке ${\displaystyle n=2,3,4,\ldots }$ имеет узкий треугольный «всплеск» (пик):

• Высота ${\displaystyle n}$-го пика равна ${\displaystyle n}$ (таким образом, функция не ограничена).
• Ширина основания ${\displaystyle n}$-го пика равна ${\displaystyle {\frac {2}{n^{3}}}}$.
• Вне этих интервалов полагаем ${\displaystyle f(x)=0}$.

Площадь каждого такого треугольного всплеска вычисляется по формуле ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\cdot {\text{основание}}\cdot {\text{высота}}}$:

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{n^{3}}}\cdot n={\frac {1}{n^{2}}}.}$

Тогда несобственный интеграл от этой функции равен сумме площадей всех пиков:

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(x)\,dx=\sum _{n=2}^{\infty }S_{n}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1.}$

Интеграл сходится (площадь под графиком конечна), однако функция ${\displaystyle f(x)}$ достигает сколь угодно больших значений при ${\displaystyle x\to +\infty }$. Интуиция подводит нас потому, что интеграл измеряет площадь, а площадь может быть малой не только за счёт малой высоты, но и за счёт исчезающе малой ширины^[47].

С предыдущим парадоксом связан другой: может ли сходиться интеграл ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(x)\,dx}$, если функция ${\displaystyle f(x)}$ колеблется и её амплитуда вообще не уменьшается?

Ответ даёт интеграл Френеля, возникающий в теории дифракции света:

${\displaystyle I=\int _{0}^{+\infty }\sin(x^{2})\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.}$

Парадокс: подынтегральная функция ${\displaystyle \sin(x^{2})}$ не затухает. Она вечно колеблется между ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle +1}$. Предела на бесконечности у неё нет. Более того, это не просто узкие пики: функция принимает значения 1 и -1 бесконечное количество раз, и ширина этих максимумов не стремится к нулю столь же наглядно, как в искусственно сконструированном предыдущем примере.

Разрешение: сходимость обеспечивается не убыванием амплитуды колебаний, а бесконечным возрастанием их частоты. Расстояние между нулями функции ${\displaystyle \sin(x^{2})}$ равно ${\displaystyle {\sqrt {\pi (n+1)}}-{\sqrt {\pi n}}\approx {\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {n}}}}}$. Чем дальше вправо уходит график, тем у́же становятся «волны». Положительные и отрицательные полуволны взаимно уничтожают друг друга при интегрировании, и этот процесс взаимной компенсации площадей происходит настолько быстро, что предел интеграла оказывается конечным. При этом интеграл сходится условно: интеграл от модуля ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }|\sin(x^{2})|\,dx}$ расходится^[48].