Квадратура параболы

Чтобы найти площадь параболического сегмента, Архимед рассматривает определённый вписанный треугольник. Основанием этого треугольника является заданная хорда параболы, а третьей вершиной служит такая точка параболы, что касательная к параболе в этой точке параллельна хорде. Лемма 1-ой работы утверждает, что прямая из третьей вершины, параллельная оси, делит хорду на два равных отрезка. Основная теорема гласит, что площадь параболического сегмента равна 4/3 вписанного треугольника.

Конические сечения, такие как парабола, были хорошо известны уже во времена Архимеда благодаря работам Менехма за век до этого. Однако до прихода дифференцирования и интегрирования не было простых средств нахождения площади конических сечений. Архимед дал первое проверенное решение этой проблемы, сфокусировавшись на площади, ограниченной параболой и хордой^[3].

Архимед дал два доказательства основной теоремы — одно доказательство использует абстрактную механику, а другое составлено на основе чистой геометрии. В первом доказательстве Архимед рассматривает рычаг на сегменты параболы и треугольника в состоянии равновесия под действием гравитации, действующей на плечи рычага на определённом расстоянии от точки опоры^[4]. Если центр тяжести треугольника известен, равновесие рычага даёт площадь параболы в терминах площади треугольника с тем же основанием и высотой^[5]. Архимед здесь отклоняется от процедуры, находящейся в трактате О равновесии плоскостей в том, что он имеет центры тяжести на уровне ниже баланса^[6]. Второе и более известное доказательство использует только геометрию, в частности, сумму геометрического ряда.

Из двадцати четырёх утверждений первые три приведены без доказательства и ссылаются на работу Евклида «Конические элементы» (утерянная работа Евклида по коническим сечениям). Утверждения 4 и 5 устанавливают элементарные свойства параболы. Утверждения 6-17 дают доказательство основной теоремы на основе механики. Утверждения 18-24 предоставляют геометрическое доказательство.

Основная идея доказательства — разбиение параболического сегмента на бесконечное число треугольников, как показано на рисунке справа. Каждый из этих треугольников вписан в свой сегмент тем же способом, что и синий треугольник.

В утверждениях 18-21 Архимед доказывает, что площадь каждого зелёного треугольника равна одной восьмой площади синего треугольника. С современной точки зрения, это следствие того, что ширина зелёного треугольника равна половине ширины синего, а высота в четыре раза меньше^[7]:

По тому же принципу, площадь каждого жёлтого треугольника равна одной восьмой зелёного, площадь каждого из красных треугольников равна одной восьмой площади жёлтого треугольника и так далее. Используя метод исчерпывания, получаем, что общая площадь параболического сегмента задаётся выражением:

${\displaystyle {\text{Area}}\;=\;T\,+\,2\left({\frac {T}{8}}\right)\,+\,4\left({\frac {T}{8^{2}}}\right)\,+\,8\left({\frac {T}{8^{3}}}\right)\,+\,\cdots .}$

Здесь T представляет площадь большого синего треугольника, второй член представляет общую площадь двух зелёных треугольников, третий член представляет суммарную площадь четырёх жёлтых треугольников, и так далее. Это выражение можно упростить до

${\displaystyle {\text{Area}}\;=\;\left(1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \right)T.}$

Чтобы завершить доказательство, Архимед показал, что

${\displaystyle 1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {4}{3}}.}$

Формула выше является геометрическим рядом — каждый последующий член которого вчетверо меньше предыдущего. В современной математике эта формула является частным случаем формулы суммирования геометрического ряда.

Архимед вычислил сумму геометрическим методом^[8], проиллюстрированным на рисунке. Рисунок показывает единичный квадрат, который разбивается на бесконечное число меньших квадратов. Каждый последующий фиолетовый квадрат имеет площадь вчетверо меньше площади предыдущего квадрата, а полная сумма площадей фиолетовых квадратов равна сумме

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots {\frac {1}{4^{n}}}.}$

Однако фиолетовые квадраты равны каждому из наборов жёлтых квадратов, а потому покрывают 1/3 площади единичного квадрата. Отсюда следует, что ряд, приведённый выше, сходится к 4/3 (поскольку 1+1/3 = 4/3).

• Sunday Ajose, Roger Nelsen. Proof without Words: Geometric Series // Mathematics Magazine. — June 1994. — Т. 67, вып. 3. — С. 230. — doi:10.2307/2690617. — JSTOR 2690617.
• Luciano Ancora. Quadrature of the parabola with the square pyramidal number // Archimede. — 2014. — Т. 66, вып. 3.
• David M. Bressoud. A Radical Approach to Real Analysis. — 2006. — ISBN 0-88385-747-2.
• Dijksterhuis E.J. Archimedes. — 1987. — ISBN 0-691-08421-1.
• C. H. Edwards Jr. The Historical Development of the Calculus. — 3rd. — 1994. — ISBN 0-387-94313-7.
• Thomas L. Heath. The Works of Archimedes. — 2nd. — 2011. — ISBN 978-1-4637-4473-1.
• George F. Simmons. Calculus Gems. — 2007. — ISBN 978-0-88385-561-4.
• Sherman K. Stein. Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?. — 1999. — ISBN 0-88385-718-9.
• John Stillwell. Mathematics and its History. — 2004. — ISBN 0-387-95336-1.
• Gordon Swain, Thomas Dence. Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited // Mathematics Magazine. — 1998. — Апрель (т. 71, вып. 2). — С. 123–30. — doi:10.2307/2691014. — JSTOR 2691014.
• Alistair Macintosh Wilson. The Infinite in the Finite. — 1995. — ISBN 0-19-853950-9.