Теорема Ньютона — Лейбница

Идея, что накопленное изменение величины равно площади под графиком скорости, встречается уже у Николая Орема (трактат De configurationibus, середина XIV века)^[3]: путь прямолинейно ускоренного движения равен площади трапеции под графиком скорости^[4]. В XVII веке квадратуры развивали Кавальери, Торричелли, Ферма и Паскаль; связь задач на касательные и на площади постепенно становилась явной.

Геометрическую формулировку взаимной обратности этих задач дал Джеймс Грегори в Geometriae pars universalis (1668)^[5] для достаточно регулярных (в частности монотонных) кривых. Исаак Барроу в Lectiones geometricae (1670)^[6] распространил рассуждение и явно сопоставил построение касательной и квадратуру; отсюда название «теорема Барроу» для утверждения о производной интеграла с переменным пределом^[4][7].

Исаак Ньютон в трактатах о флюксиях (середина 1660-х, De analysi 1669, опубликован в 1711^[8]; Tractatus de quadratura curvarum, 1704^[9]) исходил из кинематики: флюента накапливается со скоростью-флюксией, поэтому площадь под графиком ординаты есть флюента, а сама ордината — флюксия площади. Вычисление квадратуры сводится к отысканию флюенты и взятию её разности на концах промежутка. Готфрид Вильгельм Лейбниц пришёл к той же связи независимо, мысля интеграл как сумму дифференциалов. В рукописях 1675 года появляется знак ${\displaystyle \int }$ (удлинённая s, summa); термин calculus integralis предложил Якоб Бернулли (1690)^[10]. Современной записи с пределами у Лейбница ещё нет. Геометрическое сведение квадратуры к построению кривой с заданным законом касания он изложил, в частности, в 1693 году^[11].

Имя «определённый интеграл» восходит к Лапласу (конец XVIII века). Привычное обозначение ${\displaystyle \int _{a}^{b}}$ ввёл Ж. Б. Ж. Фурье в Théorie analytique de la chaleur (1822)^[12]. Современную учебную формулировку «интеграл равен разности первообразной на концах» закрепил С. Ф. Лакруа в трактатах по дифференциальному и интегральному исчислению рубежа XVIII—XIX веков^[13].

Строгое определение определённого интеграла как предела сумм и доказательство теоремы для непрерывных функций дал О. Коши в Résumé des leçons (1823)^[14]. Б. Риман (1854, публикация 1868)^[15] расширил класс интегрируемых функций; формула Ньютона — Лейбница сохраняется, если первообразная существует. А. Лебег (1902) охарактеризовал неопределённый интеграл как абсолютно непрерывную функцию^[16]. Интегралы Данжуа, Перрона и Хенстока — Курцвейля (1950—1960-е) сделали равенство ${\displaystyle \int F'=F(b)-F(a)}$ верным для всякой всюду конечной производной^[17].

В учебной литературе теорему обычно делят на две взаимно обратные части^[18].

I. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом (теорема Барроу). Если ${\displaystyle f}$ интегрируема по Риману на ${\displaystyle [a,b]}$, то функция

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt,\qquad x\in [a,b],}$

корректно определена (интегрируемость на подотрезке следует из интегрируемости на отрезке) и липшицева, в частности непрерывна. Если сверх того ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x_{0}}$, то ${\displaystyle F}$ дифференцируема в ${\displaystyle x_{0}}$ и

${\displaystyle F'(x_{0})=f(x_{0})}$

(на концах — односторонние производные). Следовательно, всякая непрерывная на отрезке функция имеет первообразную; одна из них задаётся равенством ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f}$.

II. Формула Ньютона — Лейбница. Если ${\displaystyle f}$ интегрируема по Риману на ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle \Phi }$ — любая её первообразная на этом отрезке (${\displaystyle \Phi '=f}$ всюду), то

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a).}$

Первая часть строит первообразную из интеграла; вторая восстанавливает интеграл по любой уже найденной первообразной. Нумерация частей в учебниках иногда противоположна; содержание от этого не зависитПискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — 13-е. — М.: Наука, 1985. — Т. 1. — С. 371—374..

Теорема. Пусть ${\displaystyle f}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle \Phi }$ — любая первообразная ${\displaystyle f}$ на этом отрезке. Тогда

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\bigl .}\Phi (x){\bigr |}_{a}^{b}.}$

Непрерывность сразу даёт и интегрируемость по Риману, и существование первообразной, поэтому на практике именно это условие используют чаще всего^[19].

Доказательство

Поскольку ${\displaystyle f}$ непрерывна, она интегрируема на каждом подотрезке ${\displaystyle [a,x]\subset [a,b]}$. Положим

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$

и, по определению, ${\displaystyle F(a)=0}$, ${\displaystyle F(b)=\int _{a}^{b}f}$.

Непрерывность ${\displaystyle F}$. Для ${\displaystyle x,x+h\in [a,b]}$

${\displaystyle F(x+h)-F(x)=\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt.}$

Функция ${\displaystyle f}$ ограничена: ${\displaystyle |f|\leq K}$. Значит ${\displaystyle |F(x+h)-F(x)|\leq K|h|\to 0}$ при ${\displaystyle h\to 0}$. Таким образом, ${\displaystyle F}$ липшицева (и тем более непрерывна) на всём отрезке — даже если требовать от ${\displaystyle f}$ лишь интегрируемости, а не непрерывности.

Дифференцируемость в точке непрерывности. Пусть ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x}$. Запишем ${\displaystyle f(t)=f(x)+\eta (t)}$, где ${\displaystyle \eta (t)\to 0}$ при ${\displaystyle t\to x}$. Тогда

${\displaystyle {\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(x)\,dt+{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\eta (t)\,dt=f(x)+{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\eta (t)\,dt.}$

Для всякого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся ${\displaystyle \delta >0}$ такое, что ${\displaystyle |\eta (t)|<\varepsilon }$ при ${\displaystyle |t-x|<\delta }$. Если ${\displaystyle 0<|h|<\delta }$, то

${\displaystyle \left|{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\eta (t)\,dt\right|\leq \varepsilon .}$

Следовательно, разностное отношение стремится к ${\displaystyle f(x)}$, то есть ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$.

Заключение. Непрерывная ${\displaystyle f}$ имеет первообразную ${\displaystyle F}$. Любая другая первообразная имеет вид ${\displaystyle \Phi =F+C}$. Подстановка ${\displaystyle x=a}$ даёт ${\displaystyle C=\Phi (a)}$, откуда ${\displaystyle F(x)=\Phi (x)-\Phi (a)}$. При ${\displaystyle x=b}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f=\Phi (b)-\Phi (a).}$

Непрерывность избыточна как необходимое условие^[20].

Теорема. Если ${\displaystyle f}$ интегрируема по Риману на ${\displaystyle [a,b]}$ и имеет на этом отрезке первообразную ${\displaystyle \Phi }$ (то есть ${\displaystyle \Phi '=f}$ в каждой точке), то ${\displaystyle \int _{a}^{b}f=\Phi (b)-\Phi (a)}$.

Доказательство. Для произвольного разбиения ${\displaystyle a=x_{0}<\dots <x_{n}=b}$ теорема Лагранжа на каждом частичном отрезке даёт точку ${\displaystyle \xi _{i}\in (x_{i-1},x_{i})}$ с

${\displaystyle \Phi (x_{i})-\Phi (x_{i-1})=\Phi '(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})=f(\xi _{i})\,\Delta x_{i}.}$

Суммируя, получаем телескопическое тождество

${\displaystyle \Phi (b)-\Phi (a)=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\,\Delta x_{i}.}$

Правая часть — интегральная сумма Римана. При диаметре разбиения, стремящемся к нулю, она сходится к интегралу, потому что ${\displaystyle f}$ интегрируема. Левая часть от разбиения не зависит.

Это рассуждение опирается только на определение интеграла Римана и формулу конечных приращений. Чтобы вернуться от него к классической формулировке, нужно отдельно знать, что непрерывная функция интегрируема и имеет первообразную (первая часть теоремы)^[21].

Оба свойства — интегрируемость и существование всюду первообразной — независимы.

• Интегрируема, но не является производной нигде определённой функции. По теореме Дарбу производная обладает свойством промежуточного значения и потому не может иметь скачков. Функция знака ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ и любая функция с неустранимым разрывом первого рода интегрируемы по Риману (если разрывов конечное число) и не являются производными. Функция Тома (функция Римана) интегрируема, является разрывной на ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ и также не обладает свойством Дарбу.
• Имеет первообразную, но не интегрируема по Риману. Функция

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}x^{2}\sin(1/x^{2}),&x\neq 0,\\0,&x=0\end{cases}}}$

дифференцируема всюду, причём ${\displaystyle F'(0)=0}$ и

${\displaystyle F'(x)=2x\sin {\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {2}{x}}\cos {\frac {1}{x^{2}}}\quad (x\neq 0).}$

Производная неограничена в любой окрестности нуля и потому не интегрируема по Риману на отрезке, содержащем 0. Другой пример — функция Вольтерры: её производная ограничена, существует всюду и всё же не интегрируема по Риману (множество точек разрыва имеет положительную меру)^[22].

На практике часто встречаются функции, имеющие разрывы первого рода. Пусть ${\displaystyle f}$ задана на ${\displaystyle [a,b]}$ и имеет конечное число точек разрыва. Функцию ${\displaystyle F}$ называют кусочно-гладкой первообразной (или обобщённой первообразной) ${\displaystyle f}$, если она непрерывна на всём отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, дифференцируема всюду, кроме конечного числа точек, и ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ во всех точках дифференцируемости.

Теорема. Если ${\displaystyle f}$ интегрируема по Риману на ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle F}$ — её кусочно-гладкая первообразная, то ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$.

Доказательство. Пусть точки ${\displaystyle a=c_{0}<c_{1}<\dots <c_{k}=b}$ включают все точки, в которых нарушается условие ${\displaystyle F'=f}$. На каждом открытом интервале ${\displaystyle (c_{i-1},c_{i})}$ функция ${\displaystyle F}$ удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. Для любого разбиения, включающего точки ${\displaystyle c_{i}}$, на каждом частичном отрезке найдётся точка ${\displaystyle \xi _{i}}$ такая, что ${\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=f(\xi _{i})\,\Delta x_{i}}$. Суммируя эти равенства, получаем телескопическую сумму:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\bigl (}F(x_{i})-F(x_{i-1}){\bigr )}=F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\,\Delta x_{i}.}$

Поскольку ${\displaystyle f}$ интегрируема по Риману, при стремлении диаметра разбиения к нулю правая часть сходится к ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$, что и требовалось доказать.

Пример. Функция ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ на ${\displaystyle [-1,1]}$ интегрируема, классической (везде дифференцируемой) первообразной не имеет, но ${\displaystyle F(x)=|x|}$ является для неё кусочно-гладкой первообразной. Формула даёт корректный результат:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\operatorname {sgn} x\,dx=|1|-|-1|=0.}$

Применение формулы к функции, которая не является первообразной на всём отрезке интегрирования, приводит к противоречию. Так,

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}\;{\stackrel {?}{=}}\;-{\frac {1}{x}}{\Big |}_{-1}^{1}=-1-(1)=-2,}$

хотя подынтегральная функция положительна. Функция ${\displaystyle -1/x}$ не определена в нуле и потому не является (даже обобщённой) первообразной ${\displaystyle 1/x^{2}}$ на ${\displaystyle [-1,1]}$. Кроме того, ${\displaystyle 1/x^{2}}$ не ограничена в окрестности нуля и не интегрируема по Риману. Законна запись по отдельности:

${\displaystyle \int _{-1}^{-\varepsilon }{\frac {dx}{x^{2}}}+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=2{\Bigl (}{\frac {1}{\varepsilon }}-1{\Bigr )}\to +\infty }$

— интеграл расходится.

Пример 1. ${\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}{\Big |}_{0}^{1}={\frac {1}{3}}.}$

Пример 2. ${\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin x\,dx=-\cos x{\Big |}_{0}^{\pi }=1-(-1)=2.}$

Пример 3. ${\displaystyle \displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=\ln x{\Big |}_{1}^{e}=1.}$

Пример 4. ${\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\operatorname {arctg} x{\Big |}_{0}^{1}={\frac {\pi }{4}}.}$

Пример 5. ${\displaystyle \displaystyle \int _{-1}^{1}|x|\,dx=\int _{-1}^{0}(-x)\,dx+\int _{0}^{1}x\,dx=1.}$ Та же величина есть приращение обобщённой первообразной ${\displaystyle {\frac {1}{2}}x|x|}$.

Пример 6. ${\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{2\pi }(1-\cos x)\,dx={\bigl (}x-\sin x{\bigr )}_{0}^{2\pi }=2\pi }$ — длина дуги циклоиды, порождаемой кругом радиуса 1, или площадь под одной аркой смещённой косинусоиды.

Пример 7 (ориентация). ${\displaystyle \int _{b}^{a}f=-\int _{a}^{b}f}$, потому что ${\displaystyle F(a)-F(b)=-{\bigl (}F(b)-F(a){\bigr )}}$. В частности, ${\displaystyle \int _{a}^{a}f=0}$.

Пример 8 (аддитивность). Если ${\displaystyle a<c<b}$ и ${\displaystyle f}$ непрерывна, то

${\displaystyle \int _{a}^{b}f={\bigl (}F(c)-F(a){\bigr )}+{\bigl (}F(b)-F(c){\bigr )}=\int _{a}^{c}f+\int _{c}^{b}f.}$

Пример 9 (неэлементарная первообразная). Функция ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ непрерывна, поэтому интеграл ${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{-x^{2}}\,dx}$ существует и равен ${\displaystyle \operatorname {erf} (1)\cdot {\sqrt {\pi }}/2}$, хотя первообразная не элементарна. Формула остаётся в силе: она не требует элементарности ${\displaystyle F}$.

Пример 10 (механика). Если ${\displaystyle v(t)=s'(t)}$ — скорость, то путь за время от ${\displaystyle t_{1}}$ до ${\displaystyle t_{2}}$ есть ${\displaystyle s(t_{2})-s(t_{1})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\,dt}$.

Пример 11 (дифференцирование интеграла по пределам, или формула Лейбница). При непрерывной ${\displaystyle f}$ и дифференцируемых пределах:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}f(x)\,dx=f{\bigl (}b(t){\bigr )}b'(t)-f{\bigl (}a(t){\bigr )}a'(t).}$

Это композиция теоремы Барроу и правила дифференцирования сложной функции.

Пример 12 (функция распределения). Если случайная величина имеет плотность ${\displaystyle p}$, то ${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}p=P(X\leq x)}$ и ${\displaystyle F'=p}$ в точках непрерывности плотности.

Формула Ньютона — Лейбница естественным образом обобщается на несобственные интегралы через предельный переход. Если ${\displaystyle f}$ непрерывна на ${\displaystyle [a,b)}$ и имеет первообразную ${\displaystyle F}$, то:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{t\to b^{-}}{\bigl (}F(t)-F(a){\bigr )}.}$

Аналогично для бесконечных пределов: ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to +\infty }{\bigl (}F(t)-F(a){\bigr )}}$, при условии, что этот предел существует (конечен). В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится^[27].

Формула Ньютона — Лейбница сохраняет свою силу для функций комплексного переменного. Если функция ${\displaystyle f(z)}$ аналитична в односвязной области ${\displaystyle D}$ и имеет в ней однозначную первообразную ${\displaystyle F(z)}$ (то есть ${\displaystyle F'(z)=f(z)}$), то для любой кусочно-гладкой кривой ${\displaystyle \gamma }$, лежащей в ${\displaystyle D}$ и соединяющей точки ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}}$, справедливо:

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(z_{2})-F(z_{1}).}$

Это утверждение является прямой основой для доказательства интегральной теоремы Коши (поскольку интеграл по любому замкнутому контуру в односвязной области равен нулю)^[28].

Неопределённый интеграл Лебега суммируемой функции

${\displaystyle F(x)=C+\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$

абсолютно непрерывен. Верна теорема Лебега: функция ${\displaystyle F}$ абсолютно непрерывна на ${\displaystyle [a,b]}$ тогда и только тогда, когда существует суммируемая ${\displaystyle g}$ с

${\displaystyle F(x)=F(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt\qquad (x\in [a,b]).}$

В этом случае ${\displaystyle F'=g}$ почти всюду, и потому

${\displaystyle F(x)=F(a)+\int _{a}^{x}F'(t)\,dt}$

^[23][29][30].

Обратное утверждение без абсолютной непрерывности неверно: канторова лестница постоянна почти всюду (${\displaystyle F'=0}$ п.в.), но ${\displaystyle F(1)-F(0)=1\neq \int _{0}^{1}F'}$. Существование конечной производной всюду и суммируемость ${\displaystyle F'}$ также не гарантируют равенства: нужна абсолютная непрерывность.

Интеграл Хенстока — Курцвейля (эквивалентный интегралам Данжуа и Перрона) устроен так, что всякая всюду конечная производная интегрируема и

${\displaystyle \int _{a}^{b}F'=F(b)-F(a)}$

без дополнительных условий. В частности, производная ${\displaystyle x^{2}\sin(1/x^{2})}$ интегрируема по Хенстоку — Курцвейлю, хотя не суммируема по Лебегу^[31].

• Практическое вычисление определённых интегралов: вместо интегральных сумм ищут первообразную (таблица, замена, интегрирование по частям, алгоритм Риша).
• Решение задачи Коши ${\displaystyle y'=f(x)}$, ${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$ в виде ${\displaystyle y=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f}$.
• Механика и физика: перемещение по скорости, работа силы ${\displaystyle A=\int \mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$, количество электричества как приращение заряда.
• Теория вероятностей: функция распределения и плотность.
• Численный анализ: сама формула задаёт «точный» эталонный ответ для проверки квадратурных формул (методов прямоугольников, Симпсона, Гаусса). Более того, знание того, что первообразная не выражается в элементарных функциях (как в примере с ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$), является главным мотивом для разработки этих численных методов.
• Геометрия: площадь, длина дуги ${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,dx}$, объём тела вращения.