Свойства несобственного интеграла

Если сходятся интегралы^[2]

${\displaystyle \int f(x)\,dx\quad {\text{и}}\quad \int g(x)\,dx,}$

то для любых чисел ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ сходится также интеграл

${\displaystyle \int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx,}$

и выполняется равенство

${\displaystyle \int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int f(x)\,dx+\beta \int g(x)\,dx.}$

Если интеграл на всём промежутке существует, то его можно разрезать в любой обычной точке^[3]. Например, если сходится

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx,}$

то для любого ${\displaystyle c>a}$

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{\infty }f(x)\,dx.}$

Если внутри промежутка есть особая точка, то разбиение обязательно: общий интеграл существует только при сходимости обеих частей.

Если ${\displaystyle f(x)\geq 0}$, то частичные интегралы

${\displaystyle F(b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

не убывают по ${\displaystyle b}$. Поэтому интеграл

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$

сходится тогда и только тогда, когда функция ${\displaystyle F(b)}$ ограничена сверху^[4]. Для неотрицательных функций вопрос о сходимости сводится к вопросу об ограниченности частичных интегралов.

Для несобственных интегралов многие формулы обычного интегрального исчисления сохраняются, но применять их нужно аккуратно: сначала на усечённых промежутках, потом переходить к пределу^[2].

Если замена переменной корректна на каждом конечном промежутке и при этом пределы существуют, то её можно переносить и на несобственный интеграл. Необходимо взять обычный интеграл на конечном промежутке, выполнить замену переменной и перейти к пределу.

Для обычного интеграла формула интегрирования по частям имеет вид

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx={\Bigl [}u(x)v(x){\Bigr ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.}$

В несобственном случае её нужно применять осторожно: сначала записывать для конечного промежутка, затем переходить к пределу^[4].

Пусть функции ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ дифференцируемы на ${\displaystyle [a,\infty )}$. Тогда

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx={\Bigl [}u(x)v(x){\Bigr ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.}$

Перейдём к пределу при ${\displaystyle b\to \infty }$:

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }{\bigl [}u(b)v(b){\bigr ]}-u(a)v(a)-\int _{a}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx.}$

Эта формула имеет смысл тогда и только тогда, когда существует ${\displaystyle \lim _{b\to \infty }u(b)v(b)}$ и сходится интеграл в правой части. Принято писать сокращённо:

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }u\,dv={\Bigl [}uv{\Bigr ]}_{a}^{\infty }-\int _{a}^{\infty }v\,du,}$

где ${\displaystyle {\bigl [}uv{\bigr ]}_{a}^{\infty }=\lim _{b\to \infty }u(b)v(b)-u(a)v(a)}$.

Пусть функции ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ дифференцируемы на ${\displaystyle [a,b)}$, а в точке ${\displaystyle b}$ функция ${\displaystyle f}$ имеет особенность. Тогда

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=\lim _{t\to b-}{\bigl [}u(t)v(t){\bigr ]}-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.}$

Вычислим

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }xe^{-x}\,dx.}$

Возьмём ${\displaystyle u=x}$, ${\displaystyle dv=e^{-x}\,dx}$, тогда ${\displaystyle du=dx}$, ${\displaystyle v=-e^{-x}}$.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }xe^{-x}\,dx={\Bigl [}-xe^{-x}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx.}$

Найдём предел внеинтегрального члена:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(-xe^{-x})=0}$

(экспонента убывает быстрее любой степени), и ${\displaystyle -0\cdot e^{0}=0}$. Поэтому

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }xe^{-x}\,dx=0+\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=0+1=1.}$

Вычислим

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx.}$

Возьмём ${\displaystyle u=\ln x}$, ${\displaystyle dv=x^{-2}\,dx}$, тогда ${\displaystyle du={\frac {dx}{x}}}$, ${\displaystyle v=-{\frac {1}{x}}}$.

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx={\Bigl [}-{\frac {\ln x}{x}}{\Bigr ]}_{1}^{\infty }+\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx.}$

Внеинтегральный член:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)=0,\qquad -{\frac {\ln 1}{1}}=0.}$

Значит, ${\displaystyle {\bigl [}-{\frac {\ln x}{x}}{\bigr ]}_{1}^{\infty }=0-0=0}$. Оставшийся интеграл:

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=1.}$

Итого:

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=0+1=1.}$

Рассмотрим

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos x\,dx.}$

Попробуем интегрировать по частям с ${\displaystyle u=1}$, ${\displaystyle dv=\cos x\,dx}$. Получим ${\displaystyle v=\sin x}$, и внеинтегральный член — это ${\displaystyle {\bigl [}\sin x{\bigr ]}_{0}^{\infty }}$, предел которого не существует. Это указывает на то, что интеграл расходится. Действительно,

${\displaystyle \int _{0}^{b}\cos x\,dx=\sin b,}$

и ${\displaystyle \sin b}$ при ${\displaystyle b\to \infty }$ не имеет предела.

Если подынтегральная функция зависит не только от переменной интегрирования, но и от дополнительного параметра, возникает несобственный интеграл с параметром^[1]:

${\displaystyle I(\alpha )=\int _{a}^{\infty }f(x,\alpha )\,dx.}$

При этом возникают два новых вопроса:

• равномерна ли сходимость по параметру?
• можно ли дифференцировать или интегрировать по параметру под знаком интеграла?

Интеграл ${\displaystyle I(\alpha )=\int _{a}^{\infty }f(x,\alpha )\,dx}$ сходится равномерно по параметру ${\displaystyle \alpha \in E}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle A}$, такое что для всех ${\displaystyle b>A}$ и всех ${\displaystyle \alpha \in E}$

${\displaystyle \left|\int _{b}^{\infty }f(x,\alpha )\,dx\right|<\varepsilon .}$

Иными словами, «хвост» интеграла стремится к нулю одновременно для всех значений параметра^[3]. Если сходимость лишь поточечная (то есть для каждого фиксированного ${\displaystyle \alpha }$ интеграл сходится, но скорость зависит от ${\displaystyle \alpha }$), то переставлять предел и интеграл, а также дифференцировать под знаком интеграла нельзя без дополнительных проверок.

Признак Вейерштрасса. Если

${\displaystyle |f(x,\alpha )|\leq g(x)\quad {\text{для всех }}\alpha \in E{\text{ и всех }}x\geq a,}$

и сходится ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,dx}$, то интеграл ${\displaystyle I(\alpha )}$ сходится равномерно по ${\displaystyle \alpha \in E}$^[4]. Признаки Дирихле и Абеля также имеют равномерные варианты, в которых монотонность и ограниченность требуются равномерно по параметру.

Если функция ${\displaystyle f(x,\alpha )}$ непрерывна при всех ${\displaystyle x\geq a}$ и ${\displaystyle \alpha \in [c,d]}$, и интеграл сходится равномерно по ${\displaystyle \alpha \in [c,d]}$, то функция ${\displaystyle I(\alpha )}$ непрерывна на ${\displaystyle [c,d]}$:

${\displaystyle \lim _{\alpha \to \alpha _{0}}I(\alpha )=I(\alpha _{0}),}$

то есть предел и знак интеграла можно менять местами^[1].

При тех же условиях можно интегрировать по параметру:

${\displaystyle \int _{c}^{d}I(\alpha )\,d\alpha =\int _{c}^{d}\int _{a}^{\infty }f(x,\alpha )\,dx\,d\alpha =\int _{a}^{\infty }\int _{c}^{d}f(x,\alpha )\,d\alpha \,dx.}$

Если дополнительно существует непрерывная производная ${\displaystyle f'_{\alpha }(x,\alpha )}$ и интеграл

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f'_{\alpha }(x,\alpha )\,dx}$

сходится равномерно по ${\displaystyle \alpha \in [c,d]}$, то ${\displaystyle I(\alpha )}$ дифференцируема и

${\displaystyle I'(\alpha )=\int _{a}^{\infty }f'_{\alpha }(x,\alpha )\,dx.}$

Это правило называют дифференцированием под знаком интеграла, или правилом Лейбница^[4].

Вычислим

${\displaystyle I(\alpha )=\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}\,dx,\qquad \alpha >0.}$

Дифференцируем по параметру:

${\displaystyle I'(\alpha )=\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left(e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}\right)dx=-\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}\sin x\,dx.}$

Вычислим этот интеграл явно, интегрируя по частям дважды:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}\sin x\,dx={\frac {1}{1+\alpha ^{2}}}.}$

Поэтому

${\displaystyle I'(\alpha )=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}}.}$

Интегрируем по ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle I(\alpha )=-\operatorname {arctg} \alpha +C.}$

При ${\displaystyle \alpha \to \infty }$ интеграл ${\displaystyle I(\alpha )\to 0}$, поэтому

${\displaystyle 0=-{\frac {\pi }{2}}+C,\qquad C={\frac {\pi }{2}}.}$

Следовательно,

${\displaystyle I(\alpha )={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} \alpha .}$

В частности, при ${\displaystyle \alpha \to 0+}$:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Это знаменитый интеграл Дирихле^[1].

Рассмотрим

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}.}$

Разобьём в точке ${\displaystyle 0}$:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\int _{-\infty }^{0}{\frac {dx}{1+x^{2}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}.}$

Каждый из этих интегралов сходится, поскольку

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\operatorname {arctg} x.}$

Поэтому

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\operatorname {arctg} b-\operatorname {arctg} 0={\frac {\pi }{2}},}$

и аналогично

${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}{\frac {dx}{1+x^{2}}}={\frac {\pi }{2}}.}$

Итак,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\pi .}$

Рассмотрим

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}.}$

Левая часть:

${\displaystyle \int _{-1}^{0}{\frac {dx}{x}}=\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{-1}^{-\varepsilon }{\frac {dx}{x}}=\lim _{\varepsilon \to 0+}\ln \varepsilon =-\infty .}$

Правая часть:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{x}}=\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {dx}{x}}=\lim _{\varepsilon \to 0+}(-\ln \varepsilon )=+\infty .}$

Значит, несобственный интеграл не существует. Но его главное значение равно нулю:

${\displaystyle \operatorname {v.p.} \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }{\frac {dx}{x}}+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0.}$

Это хороший пример различия между обычным несобственным интегралом и главным значением^[3].

• Подстановка ${\displaystyle \infty }$ как обычного числа.

 Нужно сначала вычислить интеграл на конечном промежутке, потом взять предел[5].

• Проверка только симметричного предела вместо настоящего определения.

 Для ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$ требуется сходимость двух однонаправленных интегралов.

• Игнорирование разбиения в точке разрыва.

 Если особая точка находится внутри промежутка, нужно исследовать обе стороны отдельно.

• Сравнение знакопеременной функции без модуля.

 Для доказательства абсолютной сходимости нужно сравнивать ${\displaystyle |f(x)|}$.

• Вывод о сходимости только из того, что ${\displaystyle f(x)\to 0}$.

 Даже если функция стремится к нулю, интеграл может расходиться. Простейший пример: ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}$.

• Предположение, что если в двух частях есть «сокращение», то интеграл существует.

 Для несобственного интеграла каждая проблемная часть должна сходиться сама по себе.

Символ

${\displaystyle {\Bigl [}F(x){\Bigr ]}_{a}^{\infty }}$

всегда означает предел:

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }F(b)-F(a).}$

Подставлять ${\displaystyle \infty }$ непосредственно в ${\displaystyle F}$ нельзя: нужно найти предел ${\displaystyle \lim _{b\to \infty }F(b)}$ аналитически^[1].

Запись

${\displaystyle \operatorname {v.p.} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$

означает главное значение в смысле Коши и принципиально отличается от обычного несобственного интеграла. Если главное значение существует, это не гарантирует существования несобственного интеграла^[3].