Индикатор (математика)

Помимо ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ употребляются обозначения ${\displaystyle \chi _{A}}$, ${\displaystyle \mathbf {I} _{A}}$, ${\displaystyle \mathbb {1} _{A}}$, реже ${\displaystyle A(x)}$. Греческая буква ${\displaystyle \chi }$ восходит к начальной букве слова греч. χαρακτηριστικός — «характеристический». Близкую роль играет скобка Айверсона ${\displaystyle [\,x\in A\,]}$, обозначающая 1, если высказывание в скобках истинно, и 0 иначе; она удобна тем, что позволяет записывать условие непосредственно, без введения имени для множества.

Обозначение ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ следует отличать от обозначения тождественного отображения, а ${\displaystyle \chi _{A}}$ — от характеристической функции в выпуклом анализе, которая для точек вне множества принимает значение ${\displaystyle +\infty }$^[15].

Для аналитической записи индикатора промежутка на числовой прямой используется функция Хевисайда ${\displaystyle H}$: например, для полуинтервала ${\displaystyle [a,b)}$ справедливо ${\displaystyle \mathbf {1} _{[a,b)}(x)=H(x-a)-H(x-b)}$^[16].

Индикатор полностью определяет множество: если ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=\mathbf {1} _{B}}$ как функции на ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle A=B}$. Точная формулировка такова: рассмотрим отображение

${\displaystyle \Phi \colon {\mathcal {P}}(X)\to \{0,1\}^{X},\qquad \Phi (A)=\mathbf {1} _{A},}$

сопоставляющее каждому элементу булеана ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ его индикатор; здесь ${\displaystyle \{0,1\}^{X}}$ — множество всех функций из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle \{0,1\}}$. Отображение ${\displaystyle \Phi }$ является биекцией: оно инъективно (разным подмножествам отвечают разные индикаторы) и сюръективно (всякая функция ${\displaystyle f\colon X\to \{0,1\}}$ служит индикатором множества ${\displaystyle f^{-1}(1)}$)^[17].

Отсюда получается стандартное доказательство равенства ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(X)|=2^{|X|}}$ для конечного ${\displaystyle X}$ и объяснение обозначения ${\displaystyle 2^{X}}$ для булеана.

Следует различать два разных отображения. Инъективным (и вообще биективным) является именно ${\displaystyle \Phi }$ — отображение булеана в множество функций. Сам же индикатор ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}}$ — функция на ${\displaystyle X}$, и она, как правило, не инъективна: при ${\displaystyle |X|\geqslant 3}$ два различных элемента ${\displaystyle X}$ обязательно получают одинаковое значение. Индикатор инъективен лишь в вырожденных случаях (когда ${\displaystyle |X|\leqslant 1}$, а также когда ${\displaystyle |X|=2}$ и ${\displaystyle A}$ одноэлементно), а сюръективен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ — непустое собственное подмножество ${\displaystyle X}$: при ${\displaystyle A=\varnothing }$ имеем ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\equiv 0}$, при ${\displaystyle A=X}$ — ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\equiv 1}$.

Для любых ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ справедливы тождества:

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B},}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B},}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{\overline {A}}=1-\mathbf {1} _{A},}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\setminus B}=\mathbf {1} _{A}(1-\mathbf {1} _{B}),}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\triangle B}=|\mathbf {1} _{A}-\mathbf {1} _{B}|=(\mathbf {1} _{A}-\mathbf {1} _{B})^{2}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-2\,\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B}.}$

Кроме того, ${\displaystyle \mathbf {1} _{\varnothing }\equiv 0}$, ${\displaystyle \mathbf {1} _{X}\equiv 1}$, а включение ${\displaystyle A\subseteq B}$ равносильно неравенству ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\leqslant \mathbf {1} _{B}}$, выполненному во всех точках. Индикатор идемпотентен: ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}^{2}=\mathbf {1} _{A}}$, поскольку ${\displaystyle 0^{2}=0}$ и ${\displaystyle 1^{2}=1}$.

Индикаторы образуют булево кольцо, но лишь при условии, что сложение понимается по модулю 2. Относительно обычного сложения целых чисел множество индикаторов не замкнуто: например, для пересекающихся ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ сумма ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}}$ принимает в точках пересечения значение 2 и потому индикатором не является. Если же значения рассматривать в поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}=\{0,1\}}$, где ${\displaystyle 1+1=0}$, то множество ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{X}}$ всех функций из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ замкнуто относительно обеих операций и образует кольцо с единицей ${\displaystyle \mathbf {1} _{X}}$, причём

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\triangle B}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B},\qquad \mathbf {1} _{A\cap B}=\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B}.}$

Всякий элемент этого кольца идемпотентен (${\displaystyle a^{2}=a}$), то есть кольцо булево. Идемпотентность влечёт и остальные его особенности: из ${\displaystyle (a+b)^{2}=a+b}$ следует ${\displaystyle ab+ba=0}$, а при ${\displaystyle b=a}$ — равенство ${\displaystyle a+a=0}$, так что характеристика кольца равна 2 и каждый элемент противоположен самому себе.

Построенное отображение ${\displaystyle A\mapsto \mathbf {1} _{A}}$ является изоморфизмом колец между булеаном ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\triangle ,\cap )}$ и ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{X}}$. Связь булевых колец и булевых алгебр взаимна: по булевой алгебре кольцо строится указанными формулами, а обратно — операции алгебры выражаются через кольцевые, причём булевым алгебрам отвечают в точности булевы кольца с единицей. Кольцо без единицы получится, если ограничиться индикаторами конечных подмножеств бесконечного множества ${\displaystyle X}$: такой класс замкнут относительно симметрической разности и пересечения, но не содержит ${\displaystyle \mathbf {1} _{X}}$. Общее описание строения булевых колец даёт теорема Стоуна.

Индикатор согласован с прообразом и с произведением множеств: для отображения ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ и множеств ${\displaystyle A\subseteq X}$, ${\displaystyle B\subseteq Y}$ выполняются

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}{\bigl (}f(y){\bigr )}=\mathbf {1} _{f^{-1}(A)}(y),\qquad \mathbf {1} _{A\times B}(x,y)=\mathbf {1} _{A}(x)\,\mathbf {1} _{B}(y)}$^[18][19].

Пусть ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ — подмножества ${\displaystyle X}$. Произведение

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\bigl (}1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x){\bigr )}}$

равно 1 в точности для тех ${\displaystyle x}$, которые не принадлежат ни одному из множеств ${\displaystyle A_{k}}$, и равно 0 в остальных случаях, то есть

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\bigl (}1-\mathbf {1} _{A_{k}}{\bigr )}=\mathbf {1} _{X\setminus \bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$

Раскрывая скобки в левой части, получаем

${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=\sum _{\varnothing \neq F\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\,\mathbf {1} _{\bigcap _{k\in F}A_{k}},}$

где ${\displaystyle |F|}$ — мощность множества индексов ${\displaystyle F}$. Это тождество представляет собой формулу включений-исключений в наиболее прозрачной форме: суммирование обеих частей по всем точкам конечного множества сразу даёт классическое равенство для мощностей

${\displaystyle {\Bigl |}\bigcup _{k}A_{k}{\Bigr |}=\sum _{\varnothing \neq F}(-1)^{|F|+1}{\Bigl |}\bigcap _{k\in F}A_{k}{\Bigr |},}$

а интегрирование по вероятностной мере — соответствующую формулу для вероятностей. Такой вывод считается образцовым примером того, как переход к индикаторам сводит комбинаторное рассуждение к алгебраическому преобразованию^[20].

Если ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, то индикатор множества ${\displaystyle A}$ непрерывен в точке ${\displaystyle x}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x}$ не принадлежит границе ${\displaystyle A}$. Следовательно, ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ непрерывен на всём ${\displaystyle X}$ в точности тогда, когда ${\displaystyle A}$ одновременно открыто и замкнуто; в связном пространстве это возможно лишь для ${\displaystyle A=\varnothing }$ и ${\displaystyle A=X}$^[2].

Индикатор множества рациональных чисел (функция Дирихле) разрывен в каждой точке и служит стандартным контрпримером: он не интегрируем по Риману, так как нижняя сумма Дарбу равна нулю, а верхняя — длине отрезка при любом разбиении. По Лебегу же он интегрируем, и интеграл равен нулю, поскольку мера множества рациональных чисел равна нулю^[2].

Множество ${\displaystyle A}$ измеримо тогда и только тогда, когда измерима функция ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$, и в этом случае интеграл индикатора равен мере множества^[21]:

${\displaystyle \int _{X}\mathbf {1} _{A}\,d\mu =\mu (A).}$

Построение интеграла Лебега опирается на индикаторы: сначала интеграл определяется для простой функции ${\displaystyle f=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\mathbf {1} _{A_{k}}}$ с измеримыми ${\displaystyle A_{k}}$ равенством ${\displaystyle \int f\,d\mu =\sum _{k}c_{k}\mu (A_{k})}$, а затем распространяется на произвольную измеримую неотрицательную функцию как супремум интегралов от простых функций, не превосходящих данную. Всякая измеримая неотрицательная функция является поточечным пределом возрастающей последовательности простых функций, поэтому индикаторы служат порождающим классом всей теории интегрирования^[22][23].

Через индикаторы записывается и ограничение интеграла на подмножество: ${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{X}f\,\mathbf {1} _{A}\,d\mu }$.

Если ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )}$ — вероятностное пространство и ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ — событие, то ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ представляет собой случайную величину, распределённую по закону Бернулли. Её числовые характеристики выражаются через вероятность события:

${\displaystyle \mathbf {E} [\mathbf {1} _{A}]=\int _{\Omega }\mathbf {1} _{A}\,d\mathbf {P} =\mathbf {P} (A),\qquad \mathbf {D} [\mathbf {1} _{A}]=\mathbf {P} (A){\bigl (}1-\mathbf {P} (A){\bigr )}.}$

Равенство ${\displaystyle \mathbf {E} [\mathbf {1} _{A}]=\mathbf {P} (A)}$ связывает интегральные и вероятностные понятия и позволяет переводить утверждения о событиях в утверждения о случайных величинах. Типичные применения:

• Неравенство Маркова. Для неотрицательной случайной величины ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle a>0}$ поточечно выполняется ${\displaystyle a\,\mathbf {1} _{\{Y\geqslant a\}}\leqslant Y}$: в точках, где ${\displaystyle Y\geqslant a}$, левая часть равна ${\displaystyle a}$, а в остальных — нулю. Взятие математического ожидания даёт ${\displaystyle a\,\mathbf {P} (Y\geqslant a)\leqslant \mathbf {E} [Y]}$, то есть ${\displaystyle \mathbf {P} (Y\geqslant a)\leqslant \mathbf {E} [Y]/a}$^[7].
• Подсчёт числа наступивших событий. Величина ${\displaystyle N=\sum _{k}\mathbf {1} _{A_{k}}}$ равна числу произошедших событий, а её математическое ожидание — сумме вероятностей ${\displaystyle \sum _{k}\mathbf {P} (A_{k})}$. Приём позволяет вычислять средние значения комбинаторных величин, не описывая их распределения; в схеме Бернулли так получают биномиальное распределение как распределение суммы независимых индикаторов.
• Условное математическое ожидание. Определяющее свойство условного ожидания формулируется как равенство интегралов по всем событиям измеримой подалгебры, что записывается через индикаторы: ${\displaystyle \mathbf {E} [\,\mathbf {E} [\xi \mid {\mathcal {G}}]\,\mathbf {1} _{B}\,]=\mathbf {E} [\xi \,\mathbf {1} _{B}]}$ для всех ${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$^[7].

Индикатор и родственная ему скобка Айверсона используются как средство записи, позволяющее включать условия непосредственно в формулу и менять порядок суммирования без оговорок. Так, число элементов множества записывается в виде ${\displaystyle |A|=\sum _{x\in X}\mathbf {1} _{A}(x)}$, а многие комбинаторные тождества получаются перестановкой сумм произведений индикаторов.

В теории алгоритмов характеристическая функция задаёт понятие разрешимого (рекурсивного) множества: множество натуральных чисел разрешимо в точности тогда, когда его характеристическая функция вычислима. Существование неразрешимых множеств, например множества остановки, означает существование невычислимых характеристических функций^[24].

В теории нечётких множеств элемент принадлежит множеству «в некоторой степени»: вместо индикатора рассматривается функция принадлежности ${\displaystyle \mu _{A}\colon X\to [0,1]}$. Обычные («чёткие») множества отвечают функциям, принимающим лишь значения 0 и 1, то есть индикаторам. Такое обобщение применяется при формализации нестрогих понятий естественного языка и в системах нечёткого управления^[6].

В математической статистике через индикаторы определяется эмпирическая функция распределения ${\displaystyle F_{n}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}\leqslant t\}}}$, а в регрессионном анализе качественные признаки кодируются фиктивными переменными — индикаторами категорий. В оптимизации и целочисленном программировании логические условия записываются булевыми переменными, играющими роль индикаторов допустимых вариантов.