Функция принадлежности

Для любого множества ${\displaystyle X}$ функция принадлежности на ${\displaystyle X}$ — это любая функция из ${\displaystyle X}$ в вещественный единичный интервал ${\displaystyle [0,1]}$.

Функции принадлежности представляют нечеткие подмножества множества ${\displaystyle X}$. Функция принадлежности, описывающая нечеткое множество ${\displaystyle {\tilde {A}}}$, обычно обозначается как ${\displaystyle \mu _{A}}$. Для элемента ${\displaystyle x}$ множества ${\displaystyle X}$ значение ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ называется степенью принадлежности элемента ${\displaystyle x}$ нечеткому множеству ${\displaystyle {\tilde {A}}}$. Это значение количественно характеризует, насколько элемент ${\displaystyle x}$ принадлежит нечеткому множеству ${\displaystyle {\tilde {A}}}$. Значение 0 означает, что ${\displaystyle x}$ не принадлежит нечеткому множеству; значение 1 — что ${\displaystyle x}$ является его членом. Значения между 0 и 1 характеризуют элементы, частично принадлежащие нечеткому множеству.

Иногда^[1] используется более общее определение, при котором функции принадлежности принимают значения в некоторой фиксированной логической структуре или алгебре ${\displaystyle L}$. Обычно от ${\displaystyle L}$ требуется, чтобы она была по крайней мере частично упорядоченным множеством или решёткой. Обычные функции принадлежности с областью значений в [0,1] тогда называют функциями принадлежности, оцениваемыми в [0,1].

Основные математические характеристики функции принадлежности нечёткого множества:

• Ядро (core): чёткое множество элементов, для которых значение функции принадлежности равно 1: ${\displaystyle {\text{core}}(A)=\{x\in X\mid \mu _{A}(x)=1\}}$^[2][3].
• Носитель (support): чёткое подмножество элементов, для которых значение функции принадлежности строго больше 0: ${\displaystyle S_{A}=\{x\in X\mid \mu _{A}(x)>0\}}$^[2].
• Границы (boundaries): чёткое множество элементов, для которых значения функции принадлежности отличны от 0 и 1: ${\displaystyle {\text{front}}(A)=\{x\in X\mid 0<\mu _{A}(x)<1\}}$^[2].
• Высота (height): величина, равная точной верхней грани (супремуму) функции принадлежности: ${\displaystyle \sup _{x\in X}\mu _{A}(x)}$^[2][3].

Ключевые свойства функции принадлежности:

• Нормальность: функция принадлежности считается нормальной, если её максимальное значение (высота множества) равно 1: ${\displaystyle \sup _{x\in X}\mu _{A}(x)=1}$. Если верхняя граница меньше 1, множество называется субнормальным^[2][3].
• Выпуклость: нечёткое множество называется выпуклым, если значение функции принадлежности для любой точки внутри отрезка не меньше минимального из значений на его концах: ${\displaystyle \mu _{A}(x)\geq \min\{\mu _{A}(a),\mu _{A}(b)\}}$ при ${\displaystyle a<x<b}$, где ${\displaystyle x,a,b\in X}$^[2].

Ниже представлена таблица с математическими определениями, формулами и основными параметрами стандартных типов функций принадлежности:

Тип функции	Математическая формула	Основные параметры
Треугольная	${\displaystyle \max \left(0,\min \left({\frac {x-a}{b-a}},{\frac {c-x}{c-b}}\right)\right)}$ Кусочно-заданный вид: ${\displaystyle {\begin{cases}0,&x\leq a{\text{ или }}x\geq c\\\\{\frac {x-a}{b-a}},&a<x<b\\\\{\frac {c-x}{c-b}},&b\leq x<c\end{cases}}}$	${\displaystyle a}$ — начало роста (левая граница); ${\displaystyle b}$ — пик (полная принадлежность); ${\displaystyle c}$ — возврат к нулю (правая граница).
Трапецеидальная	${\displaystyle \max \left(0,\min \left({\frac {x-a}{b-a}},1,{\frac {d-x}{d-c}}\right)\right)}$ Кусочно-заданный вид: ${\displaystyle {\begin{cases}0,&x\leq a{\text{ или }}x\geq d\\\\{\frac {x-a}{b-a}},&a<x<b\\\\1,&b\leq x\leq c\\\\{\frac {d-x}{d-c}},&c<x<d\end{cases}}}$	${\displaystyle a}$ — начало роста; ${\displaystyle b}$ — начало полной принадлежности; ${\displaystyle c}$ — начало спада; ${\displaystyle d}$ — возврат к нулю.
Гауссова	${\displaystyle e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ или ${\displaystyle e^{-0.5\left({\frac {x-mean}{\sigma }}\right)^{2}}}$	${\displaystyle \mu }$ (или ${\displaystyle mean}$) — математическое ожидание (центр кривой); ${\displaystyle \sigma }$ — стандартное отклонение (ширина кривой).
Сигмоидальная	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-a(x-c)}}}}$	${\displaystyle a}$ — крутизна (степень наклона); ${\displaystyle c}$ — координата середины, где значение функции равно 0.5[4].

Методы построения функций принадлежности можно разделить на экспертные и автоматизированные. Среди экспертных методов выделяют:

• Прямые методы — эксперт непосредственно задаёт правила определения значений функции принадлежности. Подход используется для измеримых понятий (скорость, время, расстояние, давление, температура) или при выделении полярных значений^[5].
• Косвенные методы — значения функции принадлежности выбираются так, чтобы удовлетворить заранее сформулированным условиям, а экспертная информация служит исходной базой для дальнейшей математической обработки. Применяются в случаях, когда отсутствуют элементарные измеримые свойства (например, для таких понятий, как красота или интеллектуальность)^[5].
  • Метод парных сравнений — косвенный метод, основанный на обработке матрицы оценок, отражающих мнение эксперта об относительной принадлежности элементов множеству^[5].
  • Метод Саати (разновидность метода парных сравнений) — эксперт попарно сравнивает элементы по девятибалльной шкале Саати, оценивая, во сколько раз один элемент превосходит другой. Функция принадлежности определяется как собственный вектор матрицы парных сравнений, соответствующий её максимальному собственному числу^[6].

К современным автоматизированным методам относится построение функций принадлежности на основе алгоритмов кластеризации:

• Метод FINCH (непараметрическая кластеризация) в комбинации с информационным критерием Акаике (AIC). На первом этапе метод кластеризует входные данные для каждого признака, автоматически определяя необходимое число кластеров и функций принадлежности без предварительного задания параметров. На втором этапе с помощью критерия AIC для каждого кластера подбирается оптимальная форма функции принадлежности (треугольная, трапециевидная или гауссова) путём минимизации информационных потерь^[7].