Функция Хевисайда

Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от целого аргумента ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \theta [n]={\begin{cases}0,&n<0;\\1,&n\geqslant 0,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle n}$ — целое число.

Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда:

${\displaystyle \delta [n]=\theta [n]-\theta [n-1].}$

Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:

${\displaystyle \theta (x)\approx {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {th} \,kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},}$

где большему ${\displaystyle k}$ соответствует более крутой подъём функции в точке ${\displaystyle x=0}$. Задавшись необходимой шириной области перехода функции Хевисайда ${\displaystyle \Delta {x}}$, значение ${\displaystyle k}$ можно оценить как ${\displaystyle k\approx {\frac {10}{\Delta {x}}}}$.

Если принять ${\displaystyle \theta (0)=1/2}$, уравнение можно записать в предельной форме:

${\displaystyle \theta (x)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{2}}(1+\mathrm {th} \,kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.}$

Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями:

${\displaystyle \theta (x)=\lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\mathrm {arctg} \,kx\right);}$

${\displaystyle \theta (x)=\lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,\mathrm {erf} \,kx\right).}$

Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции:

${\displaystyle \theta (x)=-\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }\,d\tau .}$

Значение функции в нуле часто задаётся как ${\displaystyle \theta (0)=0}$, ${\displaystyle \theta (0)=1/2}$ или ${\displaystyle \theta (0)=1}$. ${\displaystyle \theta (0)=1/2}$ — наиболее употребительный вариант, поскольку по соображениям симметрии в точке разрыва первого рода удобно доопределять функцию средним арифметическим соответствующих односторонних пределов, кроме того в этом случае функция Хевисайда связана с функцией знака:

${\displaystyle \theta (x)={\frac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x)={\begin{cases}0,&x<0;\\{\dfrac {1}{2}},&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}}$

что с учетом определения функции знака можно выразить как

${\displaystyle \theta (x)={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {|x|}{x}}\right)={\frac {x+|x|}{2x}}}$

Значение в нуле может явно указываться в записи функции:

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0;\\n,&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}}$

Производная функции Хевисайда равна дельта-функции (то есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции):

${\displaystyle \theta (x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\delta (t)\,dt}$.

Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции ${\displaystyle \theta (t)}$, получим её изображение вида:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega ),}$

то есть:

${\displaystyle \theta (t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega )\right)e^{i\omega t}\,d\omega }$

(второй член — соответствующий нулевой частоте в разложении — описывает постоянное смещение функции Хевисайда вверх; без него получилась бы нечётная функция).

Так как производной функции Хевисайда является дельта-функция Дирака, для которой известно, что ${\displaystyle f(x)\delta (x)=f(0)\delta (x)}$, то существует формула для производной произведения ступенчатой функции с произвольной ${\displaystyle f(x)}$.

${\displaystyle \left[f(x)\theta (x)\right]^{(n)}=\sum _{k=0}^{n-1}f^{(k)}(0)\delta ^{(n-k-1)}(x)+f^{(n)}(x)\theta (x)}$

Эта функция использовалась ещё до появления её удобного обозначения. Например, Гульельмо Либри в 1830-х годах опубликовал несколько работ^[4][5], посвящённых функции ${\displaystyle 0^{0^{x}}}$. По его мнению, ${\displaystyle 0^{x}}$ равен ${\displaystyle 0}$, если ${\displaystyle x>0}$; ${\displaystyle 1}$, если ${\displaystyle x=0}$ (см. Ноль в нулевой степени); или ${\displaystyle \infty }$, если ${\displaystyle x<0}$. Таким образом Либри заключает, что ${\displaystyle 0^{0^{x}}}$ равняется 1, если ${\displaystyle x>0}$, и 0 в противном случае. Пользуясь нотацией Айверсона, это можно было бы записать, как

${\displaystyle 0^{0^{x}}=[\,x>0\,].}$

Однако такой нотации в то время не было, и Либри считал достижением, что эту функцию можно выразить через стандартные математические операции. Он использовал эту функцию для выражения абсолютной величины (обозначения ${\displaystyle |x|}$ тогда ещё не было, оно было введено позже Вейерштрассом) и индикатора таких условий, как ${\displaystyle a\leq x\leq b}$, и даже «${\displaystyle x}$ является делителем ${\displaystyle y}$»^[6].