Нечёткое множество

Нечёткое множество — это пара (U, m), где U — множество (часто предполагается непустым), а m: U → [0,1] — функция принадлежности.

Множество U (обозначается также как Ω или X) называется универсум, а для каждого x∈U значение m(x) — это степень принадлежности x к нечёткому множеству (U, m).

Функция m = μ_A называется функцией принадлежности нечёткого множества A = (U, m).

Для конечного множества U={x₁,…,xₙ} нечёткое множество (U, m) часто записывается: {m(x₁)/x₁, …, m(xₙ)/xₙ}.

Для x ∈ U:

• x называется не входит в нечёткое множество (U, m), если m(x)=0;
• x называется полностью входит, если m(x)=1;
• x называется частично входит, если 0 < m(x) < 1^[7].

Множество всех нечётких множеств на универсуме U обозначают SF(U) (или иногда F(U)).

Для любого нечёткого множества A = (U, m) и α ∈ [0,1] вводятся:

• A^{≥α} = A_α = {x ∈ U | m(x) ≥ α} — α-сечение (или уровневое множество α);
• A^{>α} = A’_α = {x ∈ U | m(x) > α} — строгое α-сечение;
• S(A) = Supp(A) = A^{>0} = {x ∈ U | m(x) > 0} — носитель;
• C(A) = Core(A) = A^{=1} = {x ∈ U | m(x) = 1} — ядро (или кернель, Kern(A)).

У некоторых авторов понятие ядра/кернеля может иметь другой смысл.

• A = (U, m) — пустое нечёткое множество (A = ∅) тогда и только тогда, когда ∀x ∈ U: μ_A(x) = m(x) = 0.
• Два нечётких множества A и B равны (A = B) тогда и только тогда, когда ∀x ∈ U: μ_A(x) = μ_B(x).
• Нечёткое множество A вложено в B (A ⊆ B), если ∀x ∈ U: μ_A(x) ≤ μ_B(x).
• x ∈ U — точка перехода (crossover point) для A, если μ_A(x)=0,5.
• α ∈ [0,1] — уровень A, если A^{=α} = {x ∈ U | μ_A(x)=α} ≠ ∅. Множество всех уровней Λ_A = {α ∈ [0,1]: A^{=α} ≠ ∅} = μ_A(U).
• Высота нечёткого множества A: Hgt(A) = sup {μ_A(x) | x ∈ U} = sup(μ_A(U)), где sup — точная верхняя грань (если U конечное, то максимум).
• A — нормализовано, если Hgt(A)=1. Любое непустое A можно нормализовать: для всех x ∈ U, μ_{Ā}(x) = μ_A(x) / Hgt(A).
• Для числовых нечётких множеств A (U⊆ℝ) с ограниченным носителем, ширина: Width(A) = sup(Supp(A))−inf(Supp(A)) (если Supp(A) конечное или замкнутое — max/min).
• Нечёткое множество A (U⊆ℝ) называется выпуклым (не путать с классическим выпуклым множеством), если ∀x, y ∈ U, ∀λ∈[0,1]: μ_A(λx + (1−λ)y) ≥ min(μ_A(x), μ_A(y)). Для топологического пространства: ∀z ∈ Z: μ_A(z) ≥ inf(μ_A(∂Z)), где ∂Z — граница множества Z.

• Комплемент (дополнение) нечёткого множества A: ∀x ∈ U: μ_{¬A}(x) = 1 − μ_A(x).
• Пусть t — t-норма, s — s-норма (t-конорма). Для A,B нечётких множеств:

 * Пересечение: ∀x ∈ U: μ_{A∩B}(x) = t(μ_A(x), μ_B(x));
 * Объединение: ∀x ∈ U: μ_{A∪B}(x) = s(μ_A(x), μ_B(x)).

Стандартные: max и min:

 * ∀x ∈ U: μ_{A∪B}(x) = max(μ_A(x), μ_B(x)), μ_{A∩B}(x) = min(μ_A(x), μ_B(x) )[8].

Если стандартный негатор n(α) = 1−α заменить на другой сильный негатор, разность нечётких множеств (см. ниже) можно обобщить:

 * μ_{¬A}(x) = n(μ_A(x)).

Тройка операций — тройка де Моргана; законы де Моргана обобщаются.

• Неидемпотентность: только min является идемпотентной t-нормой; например, если перемножать — неидемпотентно. Определяют ν-ю степень нечёткого множества: μ_{A^ν}(x) = μ_A(x)^ν.

 * Концентрация CON(A) = A²: μ_{CON(A)}(x) = μ_A(x)².

• Разность нечётких множеств A\B, или A−B: μ_{A\B}(x) = t(μ_A(x), n(μ_B(x))), в частности: μ_{A\B}(x) = min(μ_A(x), 1−μ_B(x))^[9]. Альтернатива: μ_{A−B}(x) = μ_A(x) − t(μ_A(x), μ_B(x)).

• Симметрическая разность (Дюбуа, Прад, 1980): либо абсолютное значение — μ_{A△B}(x) = |μ_A(x) − μ_B(x)|, либо выражение через max/min/негацию: μ_{A△B}(x) = max(min(μ_A(x), 1−μ_B(x)), min(μ_B(x), 1−μ_A(x)))^[9].

Для нечётких множеств также можно определить усредняющие операции.

Два нечётких множества A и B несовпадают, если: ∀x ∈ U: μ_A(x) = 0 или μ_B(x) = 0, то есть min(μ_A(x), μ_B(x))=0 для всех x. Их носители не пересекаются.

Для несовпадающих A, B: A ⋅∪ B = A∪B, и μ_{A ⋅∪ B}(x) = μ_A(x) + μ_B(x), только один из слагаемых >0.

Для семейства (A_i)_{i∈I} нечётких множеств несовпадающими называются, если для любого x ∈ U максимум один i: μ_{A_i}(x) > 0; их носители также несовпадающие (соответственно). Тогда ⋅∪_{i∈I} A_i = ∪_{i∈I} A_i и μ_{⋅∪_{i∈I}A_i}(x) = Σ_{i∈I} μ_{A_i}(x).

Для нечёткого множества A с конечным носителем Supp(A) его мощность (скалярная мощность, sigma-count) определяется: Card(A) = sc(A) = |A| = Σ_{x ∈ U} μ_A(x). Если U также конечно, относительная мощность: RelCard(A) = ||A|| = sc(A)/|U| = |A|/|U|.

Можно обобщить делитель: для нечётких множеств A,G, G≠∅, RelCard(A,G) = sc(A|G) = sc(A∩G)/sc(G).

Для нечёткого множества A функция принадлежности μ_A: U→[0,1] задаёт точку в [0,1]^U (метрическое пространство). Мера расстояния (например, максимум, если U={x₁,…,xₙ}): d(A, B) = max_i |μ_A(x_i) − μ_B(x_i)|; для бесконечного U — супремум.

Мера похожести S может выводиться из расстояния, например: S = 1/(1+d(A,B)), если d(A,B) конечно; либо S = exp(−αd(A,B)), где α>0.

Часто функцию принадлежности определяют не только в [0,1], но и в какой-либо алгебраической структуре L (обычно частично упорядоченной или решётке). Такие множества называют L-нечёткими, а обычные, как [0,1]-значные. L-нечёткие множества впервые рассматривал Джозеф Гоген (англ. Joseph Goguen) в 1967 году^[10].

Расширением нечётких множеств являются интуиционистские нечёткие множества (АК Атнассов): для множества A задаются две функции μ_A(x) — степень принадлежности x и ν_A(x) — степень непринадлежности x, причём ∀x∈U: μ_A(x) + ν_A(x) ≤ 1.

При этом модель напоминает голосование: x за предложение (μ_A=1, ν_A=0), против (μ_A=0, ν_A=1), воздержался (μ_A=0, ν_A=0).

Дальнейшее обобщение — picture fuzzy sets, где задаются три функции: степень позитивного, нейтрального и негативного членства (μ_A, η_A, ν_A), причём их сумма ≤1^[11].

Расширение IFS — пифагорово нечёткое множество: условие μ_A(x)² + ν_A(x)² ≤ 1^[12][13][14]. Такие множества применимы, если условие μ_A(x)+ν_A(x)≤1 невозможно, но меньшее ограничение оказывается подходящим^[15].

Обобщая многозначную логику, функция оценки (μ: V₀ → W) переменных в множество степеней принадлежности W трактуется как функция принадлежности: предикаты отображаются в нечёткие множества. Такая логика может работать с нечеткими посылками и строить выводы с градуированной истинностью^[16].

В технике понятие нечёткой логики часто трактуется шире — как совокупность методов и теории, связанных с нечёткими множествами и приближённым выводом^[17]. Промышленные применения см. в статье Нечёткая логика.

Нечёткое число^[18] — нечёткое множество, удовлетворяющее условиям:

• A нормализовано;
• A выпукло;
• функция принадлежности μ_A(x) достигает значения 1 хотя бы в одной точке;
• функция принадлежности μ_A(x) хотя бы кусочно непрерывна.

Ядро такого нечёткого числа — синглетон: C(A) = x*, где μ_A(x*)=1.

Нечёткое число можно сопоставить задаче «отгадай вес», где несколько более близкие предположения более правдоподобны, а точно совпадающий — максимальная принадлежность (1).

Кернель K(A) = Kern(A) нечёткого интервала A — «внутренняя» часть, вне которой функция принадлежности постоянна.

Существуют и иные определения нечётких чисел и интервалов, не всегда требующие выпуклости.

Применение принадлежности как ключа в категорной теории привело к категориям Гогена, где значение принадлежности из двухзначного расширено до отрезков (интервалов) или даже решёток^{[19][20][21][22]}.

Математические обобщения и аналоги нечётких множеств включают:

• Нечёткие множества (Заде, 1965)
• интервальные множества (Мур, 1966)
• L-нечёткие множества (Гоген, 1967)
• flou-множества (Жантильом, 1968)
• нечёткие множества 2-го и n-го типа (Заде, 1975)
• интервально-значные нечёткие множества
• level-множества (Радецки, 1977)
• грубые множества (Павлак, 1982)
• интуиционистские нечёткие множества (Атанасов, 1983)
• множественности нечётких множеств (Ягер, 1986)
• интуиционистские L-нечёткие множества
• грубые множественности (Гжымала-Буссе, 1987)
• нечеткие грубые множества (Накамура, 1988)
• действительные нечёткие множества (Близард, 1989)
• vague-множества (Гау и Бьюер, 1993)
• α-уровневые множества (Яо, 1997)
• shadowed-множества (Педрич, 1998)
• нейтрософические множества (Смарандаче, 1998)
• биполярные нечёткие множества (Чжан, 1998)
• genuine-множества (Демирджи, 1999)
• soft-множества (Молодцов, 1999)
• комплексные нечёткие множества (2002)
• интуиционистские нечёткие грубые множества (Корнелис, Де Кок, Керре, 2003)
• L-нечёткие грубые множества (Радзиковска, Керре, 2004)
• мульти-нечёткие множества (Себастьян, 2009)
• обобщенные грубые нечёткие множества (Фэн, 2010)
• грубые интуиционистские нечёткие множества (Томас, Наир, 2011)
• мягкие грубые нечёткие множества и т. д.
• пифагорово нечёткое множество (Ягер, 2013)
• picture fuzzy set (Куонг, 2013)
• сферическое нечёткое множество (Махмуд, 2018)

Уравнение нечётких отношений — уравнение вида A·R=B, где A и B — нечёткие множества, R — нечёткое отношение, A·R — композиция A с R.

Мера d нечеткости для нечётких множеств на универсуме U должна удовлетворять:

1. d(A)=0, если A — чёткое;
2. d(A) максимум, если ∀x ∈ U: μ_A(x)=0,5;
3. Если μ_A(x)≤μ_B(x)≤0,5 или μ_A(x)≥μ_B(x)≥0,5, то d(A)≤d(B) (B «менее чёткое»);
4. d(¬A) = d(A) (симметрия относительно дополнения).

Для конечного U={x₁,…,xₙ}: d(A) = H(A) + H(¬A), H(A) = −k Σ_{i=1}^n μ_A(x_i)ln(μ_A(x_i)); или d(A) = −kΣ_{i=1}^n S(μ_A(x_i)), где S — энтропия Шеннона, S(α) = −αlnα−(1−α)ln(1−α), α∈[0,1], k — константа (например, постоянная Больцмана).

Для непрерывной функции принадлежности: H(A) = −k ∫_{−∞}^{∞} Cr{A≥t} ln Cr{A≥t} dt, d(A) = −k ∫_{−∞}^{∞} S(Cr{A≥t}) dt^[23][24].

Математика располагает множеством конcтрукций, подобных или более общих, чем нечёткое множество. После введения нечетких множеств в 1965, были разработаны новые формальные подходы к моделированию неточности, неоднозначности, неопределенности^[25].