Юрий Богатырёв родился 2 марта 1947 года в Риге в семье Георгия Андриановича (1914—1984) и Татьяны Васильевны Богатырёвых (1917—2006). Отца, офицера ВМФ СССР, в 1953 году перевели служить в Москву. В 1963—1966 годах учился в Художественно-промышленном училище имени М. И. Калинина на коврово-ткацком отделении, которое не окончил. С 1965 года занимался в студии детского кукольного театра «Глобус» при Московском Доме пионеров на Стопани (ныне переулок Огородная Слобода) под руководством Владимира Штейна; именно в тот период у Богатырёва произошла переориентация интересов с живописи на театрально-художественное творчество[1]. Занимался во Всероссийской мастерской эстрадного искусства на отделении разговорного жанра. В 1966—1971 годах — студент Театрального училища имени Б. В. Щукина (курс Ю. В. Катина-Ярцева). В 1971—1977 годах служил в МДТ «Современник», в 1977 году был приглашён во МХАТ и некоторое время служил в двух театрах. Одна из лучших театральных ролей — Клеант в спектакле по пьесе Мольера «Тартюф»[2].
Всесоюзная известность пришла к Богатырёву после выхода на экраны фильма «Свой среди чужих, чужой среди своих», в котором он сыграл Егора Шилова. Актёр называл режиссёра фильма Никиту Михалкова своим «крёстным отцом» в кино, и для Михалкова Богатырёв стал своеобразным талисманом[2]. Михалков впервые увидел Богатырёва в спектакле «Подросток» в Щукинском училище в роли Версилова и пригласил в свой дипломный фильм «Спокойный день в конце войны». Первый полнометражный фильм «Свой среди чужих, чужой среди своих» принёс удачу обоим[2]. Для фильма мягкому, доброму и немного неуклюжему Богатырёву пришлось специально похудеть, научиться держать по-мужски кулаки, впервые оседлать лошадь. Вместе с Константином Райкиным он совершил прыжок со скалы, и их чуть не унесло потоком горной реки[2].
Увлекался живописью[3][4]. В 1989 году должна была состояться первая персональная выставка его картин в Москве[5], но прошла она лишь после его смерти. Большая часть его живописи исчезла[6]. Альбом графики Юрия Богатырёва издан в 2012 году.
Юрий Богатырёв был гомосексуалом, который с трудом принял свою ориентацию уже во взрослом возрасте[7][8][9][10]. Пытался влюбляться в знакомых актрис. Имел проблемы с алкоголем и лечился от депрессии[9]. Друзья вспоминают, что возлюбленными актёра в разное время были театральный администратор Василий Росляков и бармен Александр Ефимов[8][9]. Личная жизнь актёра получила своё отражение в книге Натальи Бобровой «Юрий Богатырёв: Не такой, как все» (2001)[11].
Был женат на актрисе Надежде Серой (род. 1943). Некоторые близкие об этом браке и не догадывались, другие полагали, что актёр был женат на другой, кто-то считал этот брак фиктивным[8][9].
Могила Юрия Богатырёва на Ваганьковском кладбище Москвы
Накануне гибели актёр получил гонорар от итальянского продюсера за фильм «Очи чёрные». Вечером в среду, 1 февраля 1989 года он собрал по этому поводу компанию в своей московской квартире по улице Гиляровского. Ближе к полуночи Богатырёву стало плохо с сердцем. После очередного сердечного приступа ему вызвали «скорую помощь», и фельдшер, пытаясь его спасти, ввёл ему в сердце препарат, не совместимый с принятыми алкоголем и антидепрессантами. Это вызвало шок, мгновенную остановку сердца и смерть актёра[12]. Богатырёв скончался 2 февраля, не дожив месяца до своего 42-летия.
Супруга Надежда Серая отказалась от наследства в пользу Татьяны Васильевны Богатырёвой, матери актёра[8].
1972 — «Всегда в продаже» В. П. Аксёнова (постановка О. Н. Ефремова) — Треугольников; «Вечно живые» В. С. Розова (постановка О. Н. Ефремова) — Марк Александрович
1973 — «Как брат брату» Д. Рейб (постановка: А. Вайды) — Сержант; «Белоснежка и семь гномов» Л. Е. Устинова, О. П. Табакова (постановка О. П. Табакова, Г. Б. Волчек) — гном Суббота; «Погода на завтра» М. Ф. Шатрова (постановка Г. Б. Волчек, И. Л. Райхельгауза, В. В. Фокина) — Работник отдела кадров
1974 — «Принцесса и дровосек» Г. Б. Волчек, М. И. Микаэлян (постановка: Г. Б. Волчек, О. И. Даля) — Водяной; «С любимыми не расставайтесь» А. М. Володина (постановка: В. В. Фокина) — Алфёров; «Балалайкин и К°» по роману М. Е. Салтыков-Щедрина «Современная идиллия» (постановка Г. А. Товстоногова) — Кшепшицюльский; «Четыре капли» В. С. Розова (постановка В. В. Фокина) — Сёмин
1975 — «Двенадцатая ночь» Шекспира (постановка П. Джеймса) — герцог Орсино; «Эшелон» М. М. Рощина (постановка: Г. Б. Волчек, И. Л. Райхельгауза) — Автор, ведущий рассказ
1983 — Старый Новый год М. М. Рощина (постановка О. Н. Ефремова) — Полуорлов; «Чайка» А. П. Чехова (постановка О. Н. Ефремова) — Борис Алексеевич Тригорин