Логистическое распределение

Функция плотности вероятности логистического распределения задаётся формулой:

${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{4\,s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).}$

Альтернативная параметризация задается подстановкой ${\displaystyle \sigma ^{2}=\pi ^{2}\,s^{2}/3}$. Тогда функция плотности имеет вид:

${\displaystyle g(x;\mu ,\sigma )=f(x;\mu ,\sigma {\sqrt {3}}/\pi )={\frac {\pi }{\sigma \,4{\sqrt {3}}}}\,\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}$

Кумулятивной функцией распределения является логистическая функция:

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\;\operatorname {tanh} \!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).}$

Обратная функция к кумулятивной функции распределения (${\displaystyle F^{-1}}$), обобщение logit-функции:

${\displaystyle F^{-1}(p;\mu ,s)=\mu +s\,\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right).}$

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {xe^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x}{4\,s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right)dx}$

Подставляем: ${\displaystyle u={\frac {(x-\mu )}{2s}},du={\frac {1}{2s}}dx}$

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,s\,u+\mu }{2}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du}$

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=s\int _{-\infty }^{\infty }u\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du+{\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du}$

Справедливо равенство: ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }u\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du=0}$

${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du={\frac {\mu }{2}}\,2=\mu }$

Центральный момент n-го порядка может быть вычислен как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}dF(x)=\int _{0}^{1}{\big (}F^{-1}(p)-\mu {\big )}^{n}dp\\&=s^{n}\int _{0}^{1}{\Big [}\ln \!{\Big (}{\frac {p}{1-p}}{\Big )}{\Big ]}^{n}\,dp.\end{aligned}}}$

Интеграл может быть выражен через числа Бернулли:

${\displaystyle \mathbb {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.}$