Распределение Парето

Пусть случайная величина ${\displaystyle X}$ такова, что её распределение задаётся равенством

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X<x)=1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k},\ \forall x\geqslant x_{\text{m}},}$

где ${\displaystyle x_{\text{m}},k>0}$. Тогда говорят, что ${\displaystyle X}$ имеет распределение Парето с параметрами ${\displaystyle x_{\text{m}}}$ и ${\displaystyle k}$. Плотность распределения Парето имеет вид

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {kx_{m}^{k}}{x^{k+1}}},&x\geqslant x_{m},\\[1ex]0,&x<x_{m}.\end{cases}}}$

Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {kx_{m}^{n}}{k-n}},}$

откуда, в частности,

${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {kx_{m}}{k-1}},}$

${\displaystyle \mathrm {D} [X]=\left({\frac {x_{m}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}.}$

Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода^[2]. Его «правило 20 к 80» (которое гласит: 20 % популяции владеет 80 % богатства) однако зависит от конкретной величины ${\displaystyle k}$, и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в его труде «Курс политической экономии» говорят, что там примерно 30 % населения владеет 70 % общего дохода.

Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры:

• В лингвистике распределение Парето известно под именем закона Ципфа (для разных языков показатель степени может несколько различаться, также существует небольшое отклонение от простой степенной зависимости у самых частотных слов, однако в целом степенной закон описывает это распределение достаточно хорошо). Частными проявлениями этой закономерности можно считать:
  • Зависимость абсолютной частоты слов (сколько всего раз каждое конкретное слово встретилось) в достаточно длинном тексте от ранга (порядкового номера при упорядочении слов по абсолютной частоте). Степенной характер остается вне зависимости от того, приводятся ли слова к начальной форме или берутся из текста как есть.
  • Аналогичная кривая для популярности имён.
• Распределение размера населённых пунктов^[3].