Распределение Райса

Распределение Райса является обобщением распределения Рэлея. Введено американским учёным Стефаном Райсом.

Если ${\displaystyle {X}}$ и ${\displaystyle {Y}}$ — независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с одинаковыми дисперсиями ${\displaystyle {\sigma }^{2}}$ и ненулевыми математическими ожиданиями (в общем случае неравными), то величина ${\displaystyle Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ имеет распределение Райса, плотность вероятности которой определяется в виде

${\displaystyle f(x|\nu ,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right),}$

где I₀(z) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, ${\displaystyle \nu ={\sqrt {\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}}}}$, ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$ — математические ожидания ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$.