Математическое ожидание биномиального распределения

Биномиальное распределение вероятностей (обозначается Bin(n, p)) описывает распределение числа успехов в серии n испытаний Бернулли, где n — число проведённых испытаний, p — вероятность успеха в одном испытании. Случайная величина X, имеющая биномиальное распределение, может принимать целые значения от 0 до n. Вероятность того, что X = k, вычисляется по формуле Бернулли^[1]:

${\displaystyle P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k},}$

где ${\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ — биномиальные коэффициенты, q = 1 − p — вероятность неудачи в одном испытании^[1].

Математическое ожидание дискретной случайной величины X, принимающей значения x₁, x₂, … с вероятностями p₁, p₂, …, определяется по формуле^[2]:

${\displaystyle E[X]=\sum _{i}x_{i}\cdot P(X=x_{i}).}$

Для случайной величины X, имеющей биномиальное распределение с параметрами n и p, математическое ожидание равно^[1]:

${\displaystyle E[X]=n\cdot p.}$

Это означает, что при многократном повторении эксперимента (серии из n испытаний) среднее арифметическое числа успехов будет близко к значению np.

Пример 1. Правильную монету подбрасывают 100 раз. Ожидаемое число выпавших орлов равно:

${\displaystyle E[X]=100\cdot 0,5=50.}$

В среднем орёл выпадет в половине случаев.

Пример 2. Ученик решает тест из 20 вопросов, выбирая ответы наугад. В каждом вопросе 4 варианта ответа, один из которых верный. Ожидаемое число правильных ответов:

${\displaystyle E[X]=20\cdot 0,25=5.}$

В среднем ученик даст верный ответ на 5 вопросов из 20.

Пример 3. На заводе автомат упаковывает конфеты в коробки. В 2 % случаев происходит ошибка и в коробку кладётся лишняя конфета. В партии из 500 коробок ожидаемое число коробок с ошибкой:

${\displaystyle E[X]=500\cdot 0,02=10.}$

В среднем в 10 коробках из 500 будет лишняя конфета.

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ
Ключевая формула:
${\displaystyle E(X)=np}$ — математическое ожидание биномиального распределения (${\displaystyle n}$ — число испытаний, ${\displaystyle p}$ — вероятность успеха в одном испытании).
Вывод: биномиальная величина ${\displaystyle X}$ представляется как сумма ${\displaystyle n}$ независимых бинарных величин ${\displaystyle X_{i}}$ (индикаторов успеха), для каждой из которых ${\displaystyle E(X_{i})=p}$; по свойству линейности ${\displaystyle E(X)=E(X_{1})+\dots +E(X_{n})=np}$.
Зависимости: ${\displaystyle E(X)}$ прямо пропорционально ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle p}$.
Важные нюансы: формула работает только для независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха ${\displaystyle p}$ (схема Бернулли); если вероятность меняется от испытания к испытанию (например, при извлечении шаров без возвращения), использовать эту формулу нельзя.
Типичные ошибки: путаница ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle p}$; подстановка вероятности неудачи ${\displaystyle q}$ вместо ${\displaystyle p}$; попытка применить формулу для задач без возвращения (где вероятности меняются).
Пример из ЕГЭ: монету подбрасывают 10 раз. Ожидаемое число выпавших орлов: ${\displaystyle n=10}$, ${\displaystyle p=0,5}$, ${\displaystyle E(X)=10\cdot 0,5=5}$.