Родился 24 декабря 1946 года в Казани. Отец — Алексей Еремеевич Филатов, участник Великой Отечественной войны, сержант, кавалер ордена Славы 3-й степени[3] (1914—1982); мать — Клавдия Николаевна Филатова (1923—2007).
В 1969 году Филатов был принят в труппу Московского театра на Таганке[6]. Первая главная роль — Ведущий — в спектакле «Что делать?». Играл в спектаклях «Мастер и Маргарита», «Вишнёвый сад», «Дом на набережной», «Пристегните ремни», «Пугачёв», «Антимиры», «Товарищ, верь»; исполнил роли Горацио в «Гамлете», Кульчицкого в «Павших и живых», Федерциони в «Жизни Галилея»; «Игроки-21» (творческое объединение «Артель артистов Сергея Юрского»).
В 1985—1987 годах «Таганку» возглавлял Анатолий Эфрос, а Филатов в это время работал в театре «Современник», затем вернулся в «Таганку».
В 1989 году Леонид Филатов был избран секретарём Союза кинематографистов СССР и руководителем актёрского отдела.
В 1990 году снял по своему сценарию фильм «Сукины дети», сыграв в нём одну из ролей.
Вскоре после выхода картины «Благотворительный бал», где Филатов сыграл главную роль, у него начались серьёзные проблемы со здоровьем, из-за чего Леонид Алексеевич был вынужден завершить карьеру киноактёра и сосредоточился на работе на телевидении. С 1993 по 2003 год он вёл на 1-м канале Останкино (позже — на ОРТ/«Первом канале») цикл документальных программ «Чтобы помнили», посвящённых известным в прошлом, но незаслуженно забытым актёрам советского кино, ушедшим из жизни. С 1995 года проект производился телекомпанией REN-TV[7][8].
Со времени учёбы Филатов занимался литературным творчеством, писал стихи, пародии на известных советских поэтов. Всего им было написано три пародийных цикла:
Некоторые из своих пародий Леонид Филатов читал с эстрады голосами пародируемых поэтов[10].
По воспоминаниям Владимира Винокура, во втором туре Всесоюзного конкурса артистов эстрады в 1977 году он, выступавший с монологом «Про старшину Ковальчука», и Филатов, читавший пародии на Роберта Рождественского и Евгения Евтушенко, разделили вторую премию (первую премию получила Любовь Полищук, а третью — Илья Олейников и Роман Казаков)[11].
В 1987 году Леонид Филатов дебютирует в журнале «Юность» сказкой для театра «Про Федота-стрельца, удалого молодца», которая сразу обрела популярность и стала настоящей народной сказкой в стихах.
В дальнейшем были изданы его книги «Про Федота-стрельца, удалого молодца», «Большая любовь Робина Гуда», «Любовь к трём апельсинам», «Лизистрата», «Театр Леонида Филатова», «Я — человек театральный», «Сукины дети».
Филатов является автором пьес «Пёстрые люди», «Часы с кукушкой», «Художник из Шервудского леса», «Дилижанс», «Ещё раз о голом короле» и автором песен к спектаклям «Театр Клары Газуль», «Мартин Иден», «Когда-то в Калифорнии», «Геркулес и Авгиевы конюшни». Вместе с другими актёрами был соавтором спектакля «Под кожей статуи Свободы».
В 1989 году Леонид Филатов познакомился с постановкой спектакля «Про Федота-стрельца, удалого молодца» в исполнении юных артистов театральной школы московского мюзикл-театра «Монотон». Он был удивлён и обрадован тем, что дети смогли удачно сыграть пьесу, адресованную взрослым. Актёр согласился стать художественным руководителем детского актёрского центра, в 1991 году ставшим Московским гуманитарным актёрским лицеем, единственным в России учебным заведением, где школьники получают театральное образование с первого класса.
Именно вмешательству Леонида Филатова руководство школы благодарно за то, что её не закрыли в 1996 году, когда артист, уже очень больной, приехал из больницы на заседание комиссии, посвящённое будущему школы. Здровье не позволило Леониду Алексеевичу полноценно преподавать, хотя такое желание у него было. Однако он периодически приезжал в школу, участвовал в работе художественного совета, смотрел все новые спектакли, обсуждал их, помогал выбирать репертуар.
В 2010 году школе «Монотон», ставшей теперь Московским театральным колледжем, правительством Москвы присвоено имя Леонида Филатова[12].
В 1993 году Филатов перенёс инсульт, в 1997 году — операцию по удалению почек. Более двух лет он провёл на гемодиализе — аппарате «искусственная почка».
В октябре 1997 года актёру была сделана операция по пересадке донорской почки.
В октябре 2003 года Филатов простудился, началась двусторонняя пневмония.
С 16 октября в тяжёлом состоянии находился в отделении реанимацииЦентральной клинической больницы. Всё это время был подключён к аппарату искусственного дыхания в состоянии «лекарственного и медикаментозного сна». Для лечения необходимо было принимать повышающие иммунитет препараты, что противопоказано при пересаженных органах из-за многократно повышающегося риска отторжения донорского органа. Спустя 10 дней, 26 октября 2003 года, Леонид Филатов умер на 57-м году жизни.
Советская литературная пародия // Леонид Филатов — М., «Книга», 1988, т. 1.
Л. А. Филатов. Про Федота-стрельца, удалого молодца. — МГЛ Интернэшнл, 1990.
Л. А. Филатов. Сукины дети. — РИО ПФ «Красный пролетарий», 1992.
Л. А. Филатов. Про Федота-стрельца, удалого молодца. — Изд. центр АО «Диалог — Сибирь», 1996.
Л. А. Филатов. Стихи. Песни. Пародии. Сказки. Пьесы. Киноповести. — У-Фактория, 1999.
Л. А. Филатов. Любовь к трём апельсинам. — Триэн, 1999.
Театр Леонида Филатова. — У-Фактория, 1999.
Л. А. Филатов. Нет худа без добра. — ЭКСМО-пресс, 1999.
Л. А. Филатов. Дилижанс. Новые пьесы. — ЭКСМО-пресс, 2003.
Л. А. Филатов. Золушка до и после. Пьесы. — ЭКСМО-пресс, 2004.
Л. А. Филатов. Кн. 3. Гамлет. — Полное собрание сочинений в пяти книгах. — М.: АСТ: Зебра Е, 2006. — 316 с.
Л. А. Филатов. Ещё раз о голом короле. — АСТ: Зебра Е: Времена 2, 2008. — 688 с. — (Золотой фонд мировой классики). — 3000 экз. — ISBN 978-5-17-056342-5.
Л. А. Филатов. Прямая речь. — АСТ: Зебра Е, 2007. — 416 с. — (Актёрская книга). — 7000 экз. — ISBN 978-5-17-045464-8.
Воронецкая Т. В. Леонид Филатов: Жизнь и творчество. — М.: Эксмо, 2003. — 384 с.
Сушко Ю. М. Самая лучшая сказка Леонида Филатова. — Биографии великих. Неожиданный ракурс. — М.: Эксмо, 2011. — 352 с. — 3000 экз. — ISBN 978-5-699-53756-3.
Филатов Л., Шацкая Н. Биография любви. — М.: АСТ, 2007. — 432 с. — ISBN 978-5-17-047532-2.