Точка излома

Точка излома (угловая точка, англ. corner point, kink point) — особая точка плоской кривой, в которой сходятся две ветви кривой, каждая из которых имеет одностороннюю касательную, отличную от другой^[1].

Понятие точки излома занимает важное место в математическом анализе и тесно связано с вопросами гладкости функций^[2].

Точка $x_{0}$ называется точкой излома графика функции $y=f(x)$ , если выполнены три условия:

функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$ ;
существуют конечные односторонние производные $f'_{-}(x_{0})$ и $f'_{+}(x_{0})$ ;
односторонние производные не равны между собой: $f'_{-}(x_{0})\neq f'_{+}(x_{0})$ .

Поскольку левый и правый пределы отношения приращений не совпадают, производная $f'(x_{0})$ в точке излома не существует.

Геометрически точка излома — это точка графика функции, в которой кривая образует «угол». К графику можно провести две полукасательные (левую и правую), но единая касательная не существует^[2].

Левая полукасательная имеет угловой коэффициент $k_{1}=f'_{-}(x_{0})$ , правая — $k_{2}=f'_{+}(x_{0})$ . Угол $\alpha$ между полукасательными (при условии, что они не перпендикулярны) вычисляется по формуле:

\operatorname {tg} \alpha ={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}},

при условии $1+k_{1}k_{2}\neq 0$ .

При движении вдоль графика слева направо в точке излома происходит резкое (не плавное) изменение направления кривой.

Если односторонние производные в точке излома имеют разные знаки ( $f'_{-}(x_{0})\cdot f'_{+}(x_{0})<0$ ), то точка излома является точкой локального экстремума^[3]:

локальный максимум — при $f'_{-}(x_{0})>0$ и $f'_{+}(x_{0})<0$ (функция возрастает слева, убывает справа);

локальный минимум — при $f'_{-}(x_{0})<0$ и $f'_{+}(x_{0})>0$ (функция убывает слева, возрастает справа).

Если же односторонние производные имеют одинаковые знаки (например, $f'_{-}(x_{0})=1$ , $f'_{+}(x_{0})=3$ ), экстремума нет — функция лишь меняет «скорость» роста или убывания.

Точку излома следует отличать от других особых точек: точки перегиба, точки возврата и точки разрыва.

Понятие	Непрерывность	Односторонние производные	Касательная	Примечание
Точка излома	Да	Обе конечны, не равны	Две полукасательные, единой нет	«Угол» на графике
Точка перегиба	Да	Производная обычно существует	Касательная существует	Смена направления выпуклости
Точка возврата	Да	Одна или обе бесконечны, одного знака	Вертикальная касательная	Остриё (касп)
Точка разрыва	Нет	Могут не существовать	Не определена	Нарушена непрерывность

Пример 1. Функция f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=|x|}

Рассмотрим функцию

f(x)=|x|.

Непрерывность: $\lim _{x\to 0}|x|=0=f(0).\quad \checkmark$

Левая производная: $f'_{-}(0)=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {|\Delta x|}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {-\Delta x}{\Delta x}}=-1.$

Правая производная: $f'_{+}(0)=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {|\Delta x|}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {\Delta x}{\Delta x}}=1.$

Вывод: $f'_{-}(0)=-1\neq 1=f'_{+}(0),$

следовательно, $f'(0)$ не существует и $x=0$ — точка излома.

Поскольку $f'_{-}(0)<0$ и $f'_{+}(0)>0$ , в этой точке достигается локальный минимум.

Пример 2. Кусочно-линейная функция

Рассмотрим функцию

f(x)={\begin{cases}2x+1,&x<3,\\-x+10,&x\geqslant 3.\end{cases}}

Непрерывность: $\lim _{x\to 3^{-}}(2x+1)=7,\quad \lim _{x\to 3^{+}}(-x+10)=7,\quad f(3)=7.\quad \checkmark$

Левая производная: $f'_{-}(3)=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {[2(3+\Delta x)+1]-7}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {2\Delta x}{\Delta x}}=2.$

Правая производная: $f'_{+}(3)=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {[-(3+\Delta x)+10]-7}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {-\Delta x}{\Delta x}}=-1.$

Вывод: $f'_{-}(3)=2\neq -1=f'_{+}(3),$

следовательно, $f'(3)$ не существует и $x=3$ — точка излома.

Поскольку $f'_{-}(3)>0$ и $f'_{+}(3)<0$ , в этой точке достигается локальный максимум.

Сравнение примеров

Функция	Точка	$f'_{-}$	$f'_{+}$	$f'$	Экстремум
$f(x)=\|x\|$	$x=0$	$-1$	$1$	не существует	минимум
кусочно-линейная	$x=3$	$2$	$-1$	не существует	максимум

Непрерывность. Функция обязательно непрерывна в точке излома — это входит в определение.
Недифференцируемость. Поскольку $f'_{-}(x_{0})\neq f'_{+}(x_{0})$ , двусторонний предел отношения приращений не существует, и производная $f'(x_{0})$ не определена.
Конечность односторонних производных. Обе односторонние производные конечны (в отличие от точки возврата, где одна или обе могут быть бесконечными).
Изолированность. У кусочно-гладких функций точки излома изолированы. Однако существуют непрерывные функции, не дифференцируемые ни в одной точке (например, функция Вейерштрасса)^[4].
Множество точек излома и мера. Согласно теореме Радемахера, всякая липшицева функция дифференцируема почти всюду, то есть множество точек излома имеет лебегову меру нуль^[5].

Функции нескольких переменных

Для функции $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ аналогом точки излома является точка, в которой функция непрерывна, но не дифференцируема (не существует полного дифференциала). Классический пример:

f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

где точка $(0,0)$ является точкой негладкости.

Выпуклый анализ

В выпуклом анализе точки излома естественно возникают у выпуклых кусочно-гладких функций. В таких точках вместо производной используется субдифференциал — множество всех «обобщённых наклонов», заключённых между $f'_{-}(x_{0})$ и $f'_{+}(x_{0})$ ^[6]:

\partial f(x_{0})=[f'_{-}(x_{0}),\,f'_{+}(x_{0})],

поскольку для выпуклой функции всегда выполнено $f'_{-}(x_{0})\leq f'_{+}(x_{0})$ .

Обобщённые производные

Несмотря на отсутствие классической производной, в точке излома можно определить слабую (обобщённую) производную в смысле теории распределений Шварца.

Первая слабая производная кусочно-гладкой функции совпадает с её классической производной почти всюду и не содержит сингулярных слагаемых.
Вторая и высшие слабые производные могут включать слагаемые с дельта-функцией, пропорциональные скачкам производных более низкого порядка (например, для кусочно-линейной функции вторая производная содержит дельта-вклады в точках излома)^[7].

Математическое моделирование

Кусочно-гладкие функции с точками излома широко применяются при моделировании процессов, характер которых скачкообразно меняется при переходе через пороговое значение аргумента:

сухое трение (модель Кулона);
упруго-пластические деформации в механике сплошных сред^[8].

Экономика

В микроэкономике точки излома возникают в моделях спроса и предложения. Классическим примером служит модель ломаной кривой спроса (kinked demand curve) П. Суизи, описывающая поведение цен в условиях олигополии^[9].

Оптимизация

В линейном программировании оптимум часто достигается в вершинах многогранника допустимых решений — точках, аналогичных точкам излома. В негладкой оптимизации разработаны специальные методы (субградиентный спуск, метод пучков) для минимизации функций с точками излома^[10].

Машинное обучение

В нейронных сетях одной из наиболее популярных функций активации является ReLU:

\operatorname {ReLU} (x)=\max(0,\,x),

которая имеет точку излома в

x=0

(

f'_{-}(0)=0

,

f'_{+}(0)=1

).

Несмотря на недифференцируемость, ReLU успешно применяется благодаря использованию субградиентных методов^[11].

Ранние представления (XVII—XVIII века)

Г. В. Лейбниц одним из первых в работе «Nova methodus pro maximis et minimis» (1684) обращал внимание на существование так называемых puncta angulosa (угловых точек) и cuspides (точек возврата), в которых характер кривой резко меняется^[12].

Л. Эйлер во «Введении в анализ бесконечно малых» (Introductio in analysin infinitorum, 1748) систематически рассматривал различные особенности кривых и классифицировал точки, в которых нарушается обычное поведение графика. Эйлер выделял, в частности, точки перегиба (puncta flexus contrarii) и угловые особенности (anguli). Однако его определения оставались геометрическими и интуитивными, не опираясь на строгое понятие предела^[13].

Ж. Л. Лагранж в «Теории аналитических функций» (Théorie des fonctions analytiques, 1797) предпринял попытку обосновать дифференциальное исчисление без использования бесконечно малых, основываясь на разложении функций в степенные ряды. В этом контексте точки, где разложение невозможно или меняет характер, представляли принципиальную трудность. Лагранж осознавал, что не все непрерывные функции допускают представление рядом Тейлора, но не располагал средствами для строгого анализа таких случаев^[14].

Строгие определения (первая половина XIX века)

К строгому определению точки излома подошёл О. Л. Коши. В «Курсе анализа» (Cours d’analyse, 1821) и «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» (Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal, 1823) Коши впервые определил производную как предел отношения приращений:

f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}.

Это определение позволило чётко указать на случаи, когда предел существует и когда нет. Коши явно отмечал, что предел может не существовать, если левосторонний и правосторонний пределы различаются, — именно это и даёт точку излома^[15].

П. Г. Л. Дирихле в 1829 году, исследуя сходимость рядов Фурье, рассматривал функции, имеющие конечное число точек разрыва и точек излома на заданном промежутке — так называемые функции, удовлетворяющие условиям Дирихле. Это был один из первых примеров систематического использования точек недифференцируемости в аналитических исследованиях^[16].

Б. Больцано ещё в 1830-х годах (в неопубликованной при жизни рукописи Functionenlehre) создал пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке своего интервала определения (нигде не дифференцируемой функции). Однако этот результат стал известен математическому сообществу лишь в XX веке^[17].

Переворот Вейерштрасса (1872)

Подлинную революцию в понимании связи между непрерывностью и дифференцируемостью совершил К. Вейерштрасс. 18 июля 1872 года на заседании Берлинской академии наук он представил пример функции

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),

где $0<a<1$ , $b$ — нечётное натуральное число и $ab>1+{\tfrac {3}{2}}\pi$ (впоследствии Г. Харди в 1916 г. ослабил это условие до $ab\geq 1$ ). Эта функция непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема — каждая точка является, в обобщённом смысле, точкой недифференцируемости^[18].

Другие примеры нигде не дифференцируемых функций

Вслед за Вейерштрассом были предложены многочисленные конструкции непрерывных нигде не дифференцируемых функций: Т. Такаги (1903) — элементарная конструкция, основанная на функции расстояния до ближайшего целого числа^[19]. Б. Л. ван дер Варден (1930) — ещё одна наглядная конструкция, часто приводимая в учебниках^[20].

Типичность недифференцируемости (1931)

С. Банах и С. Мазуркевич в 1931 году независимо доказали тот факт, что множество нигде не дифференцируемых непрерывных функций является остаточным (множеством второй категории Бэра) в пространстве всех непрерывных функций с равномерной метрикой. Другими словами, в определённом топологическом смысле «типичная» непрерывная функция нигде не дифференцируема^[21]^[22].

Теорема Радемахера (1919)

В 1904 году А. Лебег доказал, что любая функция ограниченной вариации дифференцируема почти всюду. В 1919 году Г. Радемахер обобщил этот результат, показав, что аналогичное свойство выполняется для всех липшицевых функций (в том числе в многомерном случае). Таким образом, для широкого класса функций точки излома образуют пренебрежимо малое в смысле меры Лебега множество^[23].

Обобщённые функции и теория распределений (1940—1950-е)

Развитая Л. Шварцем в 1940—1950-х годах теория обобщённых функций (распределений) позволила работать с производными функций, имеющих точки излома, в рамках обобщённого дифференцирования. В частности, обобщённая производная кусочно-гладкой функции включает дельта-функции Дирака, сосредоточенные в точках разрыва производной. За создание теории распределений и смежные достижения в функциональном анализе Шварц получил Медаль Филдса в 1950 году^[24]^[25].

Негладкая оптимизация (1960—1980-е)

В 1960—1980-х годах сформировалось направление негладкой оптимизации, специально приспособленное для работы с функциями, имеющими точки излома. Н. З. Шор (1960—1970-е) разработал методы субградиентного спуска для минимизации недифференцируемых функций^[26]. Ф. Кларк (1975, 1983) ввёл понятие обобщённого градиента, позволяющее строить аналоги градиентных методов для липшицевых функций^[27]. В. Ф. Демьянов и Л. В. Васильев (1981) систематически изложили теорию субдифференциалов и методы негладкой оптимизации^[28].

Фрактальная геометрия (1970—1980-е)

Б. Мандельброт в 1970—1980-х годах показал, что нигде не дифференцируемые кривые (подобные графику функции Вейерштрасса) естественно возникают при описании фрактальных объектов — береговых линий, облаков, кровеносных сосудов, горных рельефов. Понятие фрактальной размерности позволило количественно характеризовать степень «изломанности» таких кривых^[29].

Современная математика

В современной математике и её приложениях точки излома изучаются и используются в самых разнообразных контекстах: Вариационное исчисление и оптимальное управление. Кусочно-гладкие траектории с угловыми точками (в классической теории описываемые условиями Вейерштрасса—Эрдмана) возникают при решении задач с фазовыми и граничными ограничениями^[30]. Вычислительная математика. Сплайн-интерполяция аппроксимирует данные кусочно-гладкими функциями, контролируя поведение в узлах (потенциальных точках излома) для обеспечения гладкости нужного порядка^[31]. Дифференциальные уравнения. В задачах с разрывными правыми частями (задачи со свободной границей, модели с сухим трением) решения естественно содержат точки излома, для анализа которых применяется теория дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями^[32]. Таким образом, понятие точки излома, зародившееся как частный вопрос дифференциального исчисления XVII века, прошло путь от геометрической интуиции через аналитическую строгость XIX века к широкому спектру приложений в математике, физике, экономике и компьютерных науках XXI века.

↑ Излома точка // Математическая энциклопедия : в 5 т. / гл. ред. И. М. Виноградов. — М. : Советская энциклопедия, 1977—1985. — Т. 2 : Д — Коппельман. — 1982. — С. 494.
↑ ¹ ² Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : В 3 т. — 6-е изд. — М. : Физматгиз, 1968. — Т. 1. — С. 158.
↑ Ильин В. А. Основы математического анализа : в 2 ч. Ч. 1 : учебник для вузов / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — 7-е изд. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 306.
↑ Weierstrass K. Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen // Mathematische Werke. — Bd. 2. — 1872. — S. 71-74.
↑ Rademacher H. Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variabeln… // Mathematische Annalen. — 1919. — Bd. 79. — S. 340—359.
↑ Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. — М. : Мир, 1973.
↑ Владимиров В. С. Обобщённые функции в математической физике. — М. : Наука, 1979.
↑ Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М. : Физматлит, 1981.
↑ Sweezy P. M. Demand Under Conditions of Oligopoly // Journal of Political Economy. — 1939. — Vol. 47, No. 4. — P. 568—573.
↑ Шор Н. З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. — Киев : Наукова думка, 1979.
↑ Goodfellow I., Bengio Y., Courville A. Deep Learning. — MIT Press, 2016.
↑ Leibniz, G. W. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, et singulare genus calculi pro his // Acta Eruditorum. — 1684. — С. 467—473.
↑ Euler, L. Introductio in analysin infinitorum. — T. 2. — Lausannae: Bousquet, 1748. — С. 145—160.
↑ Lagrange, J. L. Théorie des fonctions analytiques. — Paris: Imprimerie de la République, 1797. — С. 30—45.
↑ Cauchy, A. L. Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. — Paris: Debure, 1823. — С. 14—22.
↑ Dirichlet, P. G. L. Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1829. — Bd. 4. — S. 157—169.
↑ Bolzano, B. Functionenlehre / Hrsg. K. Rychlík. — Praha: Královská česká společnost nauk, 1930. — С. 88—95. — (написано ок. 1834 г.).
↑ Weierstrass, K. Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen // Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. — 1872. — S. 71—74.
↑ Takagi, T. A simple example of the continuous function without derivative // Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. — 1903. — Vol. 1. — P. 176—177.
↑ van der Waerden, B. L. Ein einfaches Beispiel einer nicht-differenzierbaren stetigen Funktion // Mathematische Zeitschrift. — 1930. — Bd. 32. — S. 474—475.
↑ Banach, S. Über die Baire’sche Kategorie gewisser Funktionenmengen // Studia Mathematica. — 1931. — T. 3. — S. 174—179.
↑ Mazurkiewicz, S. Sur les fonctions non dérivables // Studia Mathematica. — 1931. — T. 3. — S. 92—94.
↑ Rademacher, H. Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variabeln und über die Transformation der Doppelintegrale // Mathematische Annalen. — 1919. — Bd. 79. — S. 340—359.
↑ Schwartz, L. Théorie des distributions. — Vol. 1—2. — Paris: Hermann, 1950—1951. — С. 45—60.
↑ Владимиров, В. С. Обобщённые функции в математической физике. — М.: Наука, 1979. — С. 12—18.
↑ Шор, Н. З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1979. — С. 25—40.
↑ Clarke, F. H. Optimization and Nonsmooth Analysis. — New York: Wiley, 1983. — P. 1—35.
↑ Демьянов, В. Ф. Недифференцируемая оптимизация / В. Ф. Демьянов, Л. В. Васильев. — М.: Наука, 1981. — С. 15—22.
↑ Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature. — San Francisco: W. H. Freeman, 1982. — P. 140—155.
↑ Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. — М.: Наука, 1961. — С. 180—195.
↑ de Boor, C. A Practical Guide to Splines. — New York: Springer, 2001. — P. 105—120.
↑ Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — С. 45—52.

Владимиров, В. С. Обобщённые функции в математической физике. — М.: Наука, 1979. — 280 с. — 10 000 экз.

Демидович, Б. П., Кудрявцев, В. А. Краткий курс высшей математики. — М.: Астрель, 2003. — С. 210–215. — 5000 экз. — ISBN 5-271-01318-9.

Зорич, В. А. Математический анализ. — 10-е изд., испр.. — М.: МЦНМО, 2019. — Т. 1. — С. 180–185. — ISBN 978-5-4439-4029-8.

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа : в 2 ч. Ч. 1 : учебник для вузов. — 7-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 648 с. — ISBN 5-9221-0536-1.

Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Дрофа, 2003. — Т. 1. — С. 275–280. — ISBN 978-5-534-15800-7.

Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : учебник для вузов. — 18-е изд., стер.. — М.: Лань, 2026. — 448 с. — ISBN 978-5-507-55976-3.

[МатЭнц-1] Излома точка // Математическая энциклопедия : в 5 т. / гл. ред. И. М. Виноградов. — М. : Советская энциклопедия, 1977—1985. — Т. 2 : Д — Коппельман. — 1982. — С. 494.

[Ficht-2] ¹ ² Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : В 3 т. — 6-е изд. — М. : Физматгиз, 1968. — Т. 1. — С. 158.

[Ilyin-3] Ильин В. А. Основы математического анализа : в 2 ч. Ч. 1 : учебник для вузов / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — 7-е изд. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 306.

[Weierstrass-4] Weierstrass K. Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen // Mathematische Werke. — Bd. 2. — 1872. — S. 71-74.

[Rademacher-5] Rademacher H. Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variabeln… // Mathematische Annalen. — 1919. — Bd. 79. — S. 340—359.

[Rockafellar-6] Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. — М. : Мир, 1973.

[Vladimirov-7] Владимиров В. С. Обобщённые функции в математической физике. — М. : Наука, 1979.

[Andronov-8] Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М. : Физматлит, 1981.

[Sweezy-9] Sweezy P. M. Demand Under Conditions of Oligopoly // Journal of Political Economy. — 1939. — Vol. 47, No. 4. — P. 568—573.

[Shor-10] Шор Н. З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. — Киев : Наукова думка, 1979.

[Goodfellow-11] Goodfellow I., Bengio Y., Courville A. Deep Learning. — MIT Press, 2016.

[12] Leibniz, G. W. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, et singulare genus calculi pro his // Acta Eruditorum. — 1684. — С. 467—473.

[13] Euler, L. Introductio in analysin infinitorum. — T. 2. — Lausannae: Bousquet, 1748. — С. 145—160.

[14] Lagrange, J. L. Théorie des fonctions analytiques. — Paris: Imprimerie de la République, 1797. — С. 30—45.

[15] Cauchy, A. L. Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. — Paris: Debure, 1823. — С. 14—22.

[16] Dirichlet, P. G. L. Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1829. — Bd. 4. — S. 157—169.

[17] Bolzano, B. Functionenlehre / Hrsg. K. Rychlík. — Praha: Královská česká společnost nauk, 1930. — С. 88—95. — (написано ок. 1834 г.).

[18] Weierstrass, K. Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen // Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. — 1872. — S. 71—74.

[19] Takagi, T. A simple example of the continuous function without derivative // Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. — 1903. — Vol. 1. — P. 176—177.

[20] van der Waerden, B. L. Ein einfaches Beispiel einer nicht-differenzierbaren stetigen Funktion // Mathematische Zeitschrift. — 1930. — Bd. 32. — S. 474—475.

[21] Banach, S. Über die Baire’sche Kategorie gewisser Funktionenmengen // Studia Mathematica. — 1931. — T. 3. — S. 174—179.

[22] Mazurkiewicz, S. Sur les fonctions non dérivables // Studia Mathematica. — 1931. — T. 3. — S. 92—94.

[23] Rademacher, H. Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variabeln und über die Transformation der Doppelintegrale // Mathematische Annalen. — 1919. — Bd. 79. — S. 340—359.

[24] Schwartz, L. Théorie des distributions. — Vol. 1—2. — Paris: Hermann, 1950—1951. — С. 45—60.

[25] Владимиров, В. С. Обобщённые функции в математической физике. — М.: Наука, 1979. — С. 12—18.

[26] Шор, Н. З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1979. — С. 25—40.

[27] Clarke, F. H. Optimization and Nonsmooth Analysis. — New York: Wiley, 1983. — P. 1—35.

[28] Демьянов, В. Ф. Недифференцируемая оптимизация / В. Ф. Демьянов, Л. В. Васильев. — М.: Наука, 1981. — С. 15—22.

[29] Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature. — San Francisco: W. H. Freeman, 1982. — P. 140—155.

[30] Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. — М.: Наука, 1961. — С. 180—195.

[31] Boor, C. A Practical Guide to Splines. — New York: Springer, 2001. — P. 105—120.

[32] Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — С. 45—52.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

Точка излома

Определение

Геометрический смысл

Связь с экстремумом

Отличие от смежных понятий

Примеры