Градиент

Пусть температура в комнате задана с помощью скалярного поля T таким образом, что в каждой точке, заданной координатами (x, y, z) температура равняется T(x, y, z) (предположим, что температура не изменяется с течением времени). В каждой точке комнаты градиент функции T будет показывать направление, в котором температура возрастает быстрее всего. Величина градиента определяет, насколько быстро температура возрастает в данном направлении.

Для случая трёхмерного пространства градиентом дифференцируемой в некоторой области скалярной функции ${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$ координат ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ называется векторная функция с компонентами

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}}$^[3].

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат ${\displaystyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}}$:

${\displaystyle \mathrm {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.}$

Если ${\displaystyle \varphi }$ — функция ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}}$, то её градиентом называется ${\displaystyle n}$-мерный вектор

${\displaystyle \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\;\ldots ,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right),}$

компоненты которого равны частным производным ${\displaystyle \varphi }$ по всем её аргументам.

• Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идёт речь.
• Оператором градиента называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) даёт её градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».

Смысл градиента любой скалярной функции ${\displaystyle f}$ в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ даёт полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена ${\displaystyle f}$, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения ${\displaystyle f}$ при смещении на ${\displaystyle d\mathbf {x} }$. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}+\ldots =\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}=(\mathrm {grad} \,\mathbf {f} \cdot d\mathbf {x} ).}$

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат ${\displaystyle x_{i}}$, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

${\displaystyle df=\sum _{i}(\partial _{i}f)\,dx^{i}}$

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

${\displaystyle df=(\partial _{i}f)\,dx^{i}}$

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Используя интегральную теорему

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\nabla \varphi \,dV=\iint \limits _{S}\varphi \,d\mathbf {s} }$,

градиент можно выразить в интегральной форме:

${\displaystyle \nabla \varphi =\lim \limits _{V\to 0}{\frac {1}{V}}\left(\iint \limits _{S}\varphi \,d\mathbf {s} \right),}$

здесь ${\displaystyle {\it {S}}}$ — замкнутая поверхность охватывающая объём ${\displaystyle {\it {{V},d\mathbf {s} }}}$ — нормальный элемент этой поверхности.

Например, градиент функции ${\displaystyle \varphi (x,\;y,\;z)=2x+3y^{2}-\sin z}$ будет представлять собой:

${\displaystyle \nabla \varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\;{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\;{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)=(2,\;6y,\;-\cos z).}$

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции ${\displaystyle \varphi }$ по направлению ${\displaystyle {\vec {e}}=(e_{1},\;\ldots ,\;e_{n})}$ равняется скалярному произведению градиента ${\displaystyle \varphi }$ на единичный вектор ${\displaystyle {\vec {e}}}$:

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {e}}}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}e_{1}+\ldots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}e_{n}=(\nabla \varphi ,\;{\vec {e}}).}$

Таким образом, для вычисления производной скалярной функции векторного аргумента по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

${\displaystyle \operatorname {grad} \,U(q_{1},\;q_{2},\;q_{3})={\frac {1}{H_{1}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{2}}}{\vec {e}}_{2}+{\frac {1}{H_{3}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{3}}}{\vec {e}}_{3},}$

где ${\displaystyle H_{i}}$ — коэффициенты Ламе.

Пусть ${\displaystyle u\colon X\to Y}$ — отображение между метрическими пространствами. Борелева функция ${\displaystyle \rho \colon X\to \mathbb {R} }$ называется верхним градиентом ${\displaystyle u}$ если следующее неравенство

${\displaystyle |u(p)-u(q)|_{Y}\leq \int \limits _{\gamma }\rho }$

выполняется для произвольной спрямляемой кривой ${\displaystyle \gamma }$, соединяющей ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ в ${\displaystyle X}$^[4].