Орем, Николай

Некоторые выводы Николая Орема в области естествознания были по-настоящему революционны для своего времени. В противовес традиционной доктрине он признавал возможным в науке рассмотрение и обсуждение альтернативных решений. В написанной на французском языке «Книге о небе и мире» (Traité du ciel et du monde) он обсуждает вопрос о возможности объяснения суточного вращения небесной сферы вращением Земли вокруг оси, в противовес постулату Аристотеля о вращении Неба. Такую возможность он находит весьма вероятной, поскольку с его точки зрения доводы Аристотеля в пользу неподвижности Земли были недостаточно убедительны: «Легче представить себе вращение самой Земли, чем вращение вокруг неё огромной звёздной сферы». Он даёт следующее описание движения Земли при взгляде со стороны:

«Если бы человек, оказавшийся на небе и увлекаемый его суточным движением, мог ясно видеть Землю и её горы, долины, реки, города и замки, то ему показалось бы, что земля вращается суточным вращением, точно так же, как нам на земле кажется, что небеса движутся».^[4]

Орем последовательно рассматривает все доводы против вращения Земли, содержащиеся в трудах Птолемея, и находит их неправильными. Он делает вывод, что «никаким опытом нельзя доказать, что небо движется в своем дневном движении, а Земля остаётся неподвижной». При этом он рассматривает пример движущегося корабля:

«Подобным образом, если бы воздух был закрыт в движущемся судне, то человеку, окружённому этим воздухом, показалось бы, что воздух не движется… Если бы человек находился в корабле, движущемся с большой скоростью на восток, не зная об этом движении, и если бы он вытянул руку по прямой линии вдоль мачты корабля, ему бы показалось, что его рука совершает прямолинейное движение; точно так же, согласно этой теории, нам представляется, что такая же вещь происходит со стрелой, когда мы пускаем её вертикально вверх или вертикально вниз. Внутри корабля, движущегося с большой скоростью на восток, могут иметь место все виды движения: продольное, поперечное, вниз, вверх, во всех направлениях — и они кажутся точно такими же, как тогда, когда корабль пребывает неподвижным».^[4]

Здесь внятно формулируется принцип относительности, причём в точности в том же виде, что у Галилея в XVII столетии. Тем не менее, окончательный вердикт Орема о возможности вращения Земли был отрицательным.

Новой для своего времени была идея Орема о том, что движение планет определено не Богом, сотворившим Землю, а равновесием природных сил. С другой стороны, Орем придерживался традиционных представлений о делении мира на подлунный и небесный.

Трактат Николая Орема «О конфигурации качеств» (De configuratione qualitatum) продолжает линию исследования переменных величин, заданную философами, входившими в группу оксфордских калькуляторов. В этом трактате Орем изобретает графическое представление для переменной величины, зависящей от пространственных координат либо от времени. Он изображает движение, откладывая по горизонтальной оси время, а по вертикальной — интенсивность движения в данный момент времени (то есть величину, которую впоследствии стали называть мгновенной скоростью).

Орем доказывает теорему о том, что тело, движущееся равноускоренным движением, проходит за данное время то же самое расстояние, которое прошло бы за это же время тело, движущееся равномерным движением со скоростью, равной средней скорости первого тела. Эти идеи Орема, равно как и мысленный эксперимент с движущимся кораблём, были впоследствии активно восприняты Галилеем.

Занимался также разработкой теории импетуса, согласно которой причиной движения брошенных тел является некоторая сила (импетус), вложенная в них внешним источником. По мнению Орема, рука сообщает брошенному камню импетус не просто благодаря своему движению вместе с камнем, а благодаря ускорению этого движения: сначала рука с камнем неподвижна, затем она ускоряется до некоторой скорости, когда ладонь разжимается и камень отрывается от руки. Соответственно, импетус вызывает не только скорость, но и ускорение тел.

Орему принадлежат несколько математических трактатов; глубокие математические проблемы затронуты также в его философских и натурфилософских сочинениях. Во многих случаях он значительно опередил научный уровень своего времени: ряд его результатов был заново получен европейскими математиками лишь через два-три столетия^[5].

В трактате «Об отношениях отношений» (лат. De proportionibus proportionum, написан между 1356 и 1361 годами) Орем впервые в европейской математике систематически применил возведение в степень с рациональным показателем. Развивая античную теорию отношений, он рассматривал «отношение отношений» (лат. proportio proportionum) — операцию, которая в современных обозначениях соответствует возведению отношения в дробную степень^[6].

Собственной символики для дробного показателя в современном смысле у Орема не было: он записывал показатель перед отношением, а правила действий со степенями формулировал словесно. Так, вместо ${\displaystyle 9^{\frac {1}{3}}}$ он писал конструкцию, означающую «одна треть отношения 9 к 1»; при этом он различал умножение и деление отношений, называя их соответственно сложением и вычитанием — то есть фактически оперировал показателями как логарифмами. Именно поэтому историки математики отмечают, что Орем вплотную подошёл к идее логарифма за два с половиной столетия до Непера.

Обозначения Орема остались незамеченными современниками и не оказали влияния на последующую традицию: дробные показатели были заново введены в XVI веке Михаэлем Штифелем и Симоном Стевином, а современную запись ввёл Исаак Ньютон в 1676 году.

Аппарат дробных степеней Орем применил и к теории музыки, предложив делить октаву на двенадцать равных полутонов. В его записи это означает, что двенадцатикратное «сложение» отношения ${\displaystyle \left({\tfrac {2}{1}}\right)^{1/12}}$ даёт октаву ${\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}$. Тем самым Орем предвосхитил равномерно темперированный строй, который вошёл в практику лишь в XVII—XVIII веках^[5].

В «Вопросах по геометрии Евклида» (Quaestiones super geometriam Euclidis) Орем исследовал бесконечные ряды и прогрессии. Наиболее известен его результат — первое в истории доказательство расходимости гармонического ряда

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\dots }$

Орем сгруппировал члены ряда так, чтобы в каждой группе оказывалось вдвое больше слагаемых, чем в предыдущей:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right)+\dots }$

Каждая скобка больше ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, поскольку содержит ${\displaystyle 2^{k}}$ слагаемых, каждое из которых не меньше ${\displaystyle {\tfrac {1}{2^{k+1}}}}$. Отсюда сумма первых ${\displaystyle 2^{n}}$ членов не меньше ${\displaystyle 1+{\tfrac {n}{2}}}$ и растёт неограниченно, то есть ряд расходится.

Это рассуждение до сих пор приводится в учебниках математического анализа практически без изменений. После Орема результат был забыт и переоткрыт лишь в XVII веке Пьетро Менголи (1650) и братьями Якобом и Иоганном Бернулли.

Орем суммировал и сходящиеся ряды, не сводящиеся к геометрической прогрессии. В частности, он нашёл сумму

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+\dots =2,}$

применив для этого геометрическое рассуждение с разбиением фигуры на полосы^[7][8].

Главное математическое сочинение Орема — «Трактат о конфигурации качеств и движений» (Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum, около 1350—1360). В нём он продолжил линию исследования переменных величин, намеченную оксфордскими калькуляторами, и предложил изображать переменную величину графически^[9].

Орем откладывал по горизонтали «протяжённость» (longitudo) — время или пространственную координату, а по вертикали «интенсивность» (latitudo) — значение изучаемого качества: скорости, теплоты, плотности. Совокупность вертикальных отрезков образует фигуру, «конфигурацию», форма которой наглядно характеризует закон изменения величины. Орем различал:

• равномерные качества (uniformis) — интенсивность постоянна, фигура прямоугольная;
• равномерно-разностные (uniformiter difformis) — интенсивность меняется равномерно, фигура трапециевидная;
• неравномерно-разностные (difformiter difformis) — все остальные случаи.

Существенно, что площадь фигуры Орем отождествлял с суммарным количеством качества — например, с пройденным путём в случае скорости. Это построение считается одним из предшественников системы координат и определённого интеграла, хотя сам Орем не рассматривал свои чертежи как координатное задание функции.

С помощью этого языка Орем дал первое строгое доказательство теоремы о средней скорости (правила мертонцев): тело, движущееся равноускоренно, проходит за данное время то же расстояние, что и тело, движущееся равномерно со скоростью, равной средней между начальной и конечной. В современных обозначениях

${\displaystyle S={\frac {v_{0}+v_{1}}{2}}\,T.}$

Доказательство Орема чисто геометрическое: площадь трапеции под графиком скорости равна площади прямоугольника, построенного на средней скорости, так как треугольники, добавляемый и отсекаемый, равны. Тремя столетиями позже это же утверждение и тот же графический приём применил Галилей при выводе закона свободного падения^[10].

В том же трактате Орем построил первый известный пример геометрической фигуры, имеющей бесконечную протяжённость, но конечную площадь. Он рассматривал полосу, составленную из бесконечного числа прямоугольников, площади которых образуют убывающую геометрическую прогрессию: суммарная площадь конечна, тогда как сама фигура простирается неограниченно^[11].

Из этого Орем делал вывод, что тело бесконечно большого объёма может обладать конечной тяжестью, если его части имеют веса ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},\ {\tfrac {1}{4}},\ {\tfrac {1}{8}},\ \dots }$ некоторой единицы. Теорию подобных фигур начали строить лишь три столетия спустя Пьер Ферма и Эванджелиста Торричелли^[12].

Трактат «О соизмеримости или несоизмеримости движений неба» (De commensurabilitate vel incommensurabilitate motuum caeli) посвящён вопросу, находятся ли периоды обращения небесных тел в рациональном отношении. Орем показал, что если отношение периодов иррационально, то точная конфигурация светил никогда не повторяется, хотя и приближается к исходной сколь угодно близко^[13].

Опираясь на этот результат, Орем выдвинул аргумент против астрологических предсказаний: поскольку «вероятнее», что отношение периодов иррационально, точное повторение небесных конфигураций невозможно, и прогнозы, основанные на их повторяемости, лишены оснований. Попутно он рассмотрел вопрос о том, каких отношений «больше» — рациональных или иррациональных, — придя к выводу в пользу последних; это одно из первых в истории рассуждений о сравнении бесконечных множеств^[14].

В трактате «О происхождении, сущности и обращении денег» (De origine, natura, jure et mutationibus monetarum) Орем выдвинул идею о том, что право чеканить деньги принадлежит не суверену, а народу. Тем самым он противостоит растущей тенденции европейских правителей решать свои финансовые проблемы за счёт инфляции.

• Орем Н. Трактат о конфигурации качеств // Историко-математические исследования, вып. 11, 1958. — С. 636—732. Вступительная статья: Зубов В. П. Трактат Николая Орема «О конфигурации качеств». С. 600—635. (Репринт: М.: УРСС. 2000.)
• Орем Н. О соизмеримости или несоизмеримости движений неба // Историко-астрономические исследования, вып. VI, 1960. — С. 301—400. Вступительная статья: Зубов В. П. Николай Орем и его математико-астрономический трактат «О соизмеримости или несоизмеримости движений неба». (Репринт: М.: УРСС. 2004.)