Операция (математика)

Арифметические операции
Арифметические операции
Сложение (+)
1-е слагаемое + 2-е слагаемое =	сумма
Вычитание (−)
Уменьшаемое − вычитаемое =	разность
Умножение (×)
1-й множитель × 2-й множитель =	произведение
Деление (:)
Делимое : делитель =	частное
Деление с остатком (mod)
Делимое mod делитель =	остаток от деления
Возведение в степень (^)
=	степень
Извлечение корня (√)
=	корень
Логарифм (log)
(число) =	логарифм

Операция — это математическое отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение).

Операция определяется как отображение области определения, которой является прямое произведение нескольких множеств. Математически это отображение вида (X1 × ... × Xn → Y), где X_i и Y могут совпадать, а n называется арностью операции.

Операции различаются по числу аргументов: унарные отображают один элемент, бинарные — два. Алгебраической операцией называется отображение из n-й декартовой степени множества в это же множество, где n — арность.

Операции характеризуются рядом свойств: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и идемпотентность. Коммутативность означает независимость от порядка операндов, ассоциативность — от порядка вычислений, дистрибутивность — согласованность двух операций, идемпотентность — повторное применение не меняет результат. При этом операция может быть не коммутативной и не антикоммутативной, как возведение в степень.

Сложение и вычитание — первой ступени, умножение и деление — второй, возведение в степень с корнем и логарифмом — третьей. Каждая следующая операция — гипероперация предыдущей; тетрация четвёртой ступени, её обратные — суперкорень и суперлогарифм, и ряд можно продолжать бесконечно.

Дифференцирование заключается в нахождении производной функции, а интегрирование, как обратная операция, — в нахождении первообразной.

Логические операции выполняются над множеством из двух элементов — истины и лжи. Отрицание — унарная операция, меняющая значение на противоположное; конъюнкция и дизъюнкция — бинарные, возвращающие истину только при определённых комбинациях аргументов.

Опера́ция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к арифметическим или логическим действиям, в отличие от термина «оператор», который чаще применяется к некоторым отображениям множества на себя, имеющим интересные для исследований свойства.

Операция $f$ — отображение, областью определения которого является прямое произведение нескольких множеств. Математически операцию можно записать как отображение $f\colon D\subseteq \underbrace {A\times A\times \cdots \times A} _{n}\to B$ ( $B$ и $A$ могут совпадать), где $n$ называется арностью операции^[1].

Операции различаются по количеству множеств, декартово произведение которых является её областью определения. Например, операция может быть унарная, если она отображает один элемент множества на один элемент множества, или бинарная, если сопоставляет двум элементам множества один элемент.

Алгебраической операцией называется операция $f$ , у которой область определения равна $n$ -й декартовой степени некоторого множества $A,$ где $n\in \mathbb {N} _{0}$ — арность, а область значений равна этому множеству $A,$ то есть $f\colon A^{n}\to A$ ^[2].

Операции могут обладать или не обладать различными свойствами. Например:

коммутативность (переместительное свойство) — свойство операции « $\circ$ », когда $a\circ b=b\circ a;$
антикоммутативность — например, операция вычитания, потому что $a-b=-(b-a);$
ассоциативность (сочетательное свойство) — свойство операции « $\circ$ », когда $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c);$
дистрибутивность (распределительное свойство) — например, операция умножения относительно сложения, так как $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c;$
идемпотентность — если повторная операция уже не изменяет объект, например взятие по модулю: $|x|={\big |}|x|{\big |}={\Big |}{\big |}|x|{\big |}{\Big |}=\ldots$

В совокупности коммутативность и антикоммутативность не исчерпывают свойства всех возможных операций: например, возведение в степень не является коммутативной операцией, так как, например, $2^{3}\neq 3^{2},$ но в то же время не является антикоммутативной:

к примеру, $2^{4}\neq {\color {Red}-}4^{2}.$

Арифметические

Сложение — бинарная операция, например: $2+7=9$ .
Вычитание — обратная сложению операция, например: $9-7=2$ .
Умножение — гипероперация сложения, например: $2\cdot 3=6$ .
Деление — обратная умножению операция, например: $6:3=2$ .
Возведение в степень — гипероперация умножения, например: $2^{3}=8$ .
Извлечение корня — обратная возведению в степень операция, например: ${\sqrt[{3}]{8}}=2$ .
Логарифмирование — вторая обратная возведению в степень операция, например: $\log _{2}8=3$ .
Тетрация — гипероперация возведения в степень, например: $^{3}2=2^{2^{2}}=16$ .
Суперкорень и суперлогарифм — обратные операции тетрации.

Сложение и вычитание являются элементарными арифметическими операциями. Все остальные, более сложные операции, получаются в результате гиперопераций. Так, сложение и вычитание относят к операциям первой ступени; умножение и деление — к операциям второй ступени; возведение в степень, извлечение корня и логарифмирование — к операциям третьей ступени; тетрация и её обратные операции являются редко используемыми операциями четвёртой ступени, однако такое гипероперирование можно продолжать бесконечно, вплоть до операций 5-й, 6-й и высших ступеней.

Математического анализа

Дифференцирование — нахождение производной функции, например: $(x^{2})'=2x$ .
Интегрирование — обратно дифференцированию; нахождение первообразной функции, например: $\int 2xdx=x^{2}+C$ .

Логические операции

Логические операции — операции над элементами из множества двух элементов: «истина» и «ложь», или «1» и «0».

Отрицание ( $\neg A$ ) — унарная операция; преобразует «1» в «0», а «0» в «1».
Конъюнкция ( $A\And B$ ) — бинарная операция; возвращает «1», только если оба аргумента «1».
Дизъюнкция ( $A\lor B$ ) — бинарная операция; возвращает «0», только если оба аргумента «0».

↑ Общая алгебра. Т.1 / О. В. Мельников, В. Н. Ремесленников, В. А. Романьков и др. Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 592 с. -(Справ. мат. б-ка). ISBN 5-02-014426-6 (Т.1)
↑ Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

[1] Общая алгебра. Т.1 / О. В. Мельников, В. Н. Ремесленников, В. А. Романьков и др. Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 592 с. -(Справ. мат. б-ка). ISBN 5-02-014426-6 (Т.1)

[2] Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

[1]

[2]

Операция (математика)

Определение

Связанные определения

Свойства

Операции

Арифметические

Математического анализа

Логические операции

Примечания

См. также

Дополнительно по теме

Категории