Комбинация тел вращения и многогранников
Комбинация тел вращения и многогранников — это математический/геометрический термин, описывающий фигуры или объекты, которые получаются благодаря скрещиванию свойств тел вращения (таких как сфера, цилиндр и конус) и свойств многогранников (геометрических тел с плоскими гранями, таких как куб, пирамиды и призмы).
Задачи на вписанные и описанные фигуры являются одними из самых сложных в курсе стереометрии. При решении таких задач необходимы знания сразу нескольких разделов математики: планиметрии, стереометрии, алгебры, тригонометриии математического анализа[1].
Определения
Общие[2]
- Радиус шара/сферы — это отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой на его поверхности;
- Хорда — это отрезок, который соединяет любые две точки сферы;
- Диаметр — это хорда, проходящая через центр шара.
Фигуры[2]
- Многогранник — геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников;
- Призма — является многогранником, состоящим из плоских многоугольников, расположенных в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, а также всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников;
- Пирамида — тоже многогранник, основанием которого является многоугольник, а остальные грани представляют собой треугольники, соединённые общей вершиной;
- Усечённая пирамида — как и стандартная пирамида является многогранником, но состоящая из основания пирамиды и параллельной основанию секущей плоскости;
- Тетраэдр — простейший многогранник, состоящий из четырёх треугольников, являющихся его гранями и обладающими общей вершиной;
- Куб — прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны;
- Октаэдр — геометрическая фигура, состоящая из 8 треугольных граней;
- Икосаэдр — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник;
- Додекаэдр — двенадцатигранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников;
- Цилиндр — тело, состоящее из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки окружностей, лежащих в основаниях этих цилиндров;
- Конус — это геометрическая трёхмерная фигура, полученная объединением всех лучей, исходящих из вершины конуса и проходящих через плоскую поверхность;
- Усечённый конус — часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию;
- Сфера — это совокупность всех точек в трёхмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы.
Описанные и вписанные фигуры
Задачи, связанные с комбинацией тел вызывают затруднения при построении чертежа и определении зависимости радиуса описанного (вписанного) шара (сферы) от элементов многогранников и круглых тел[1].
Комбинации многогранников и шара
Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех граней многогранника. Многогранник, все грани которого касаются сферы, называется описанным около шара, а шар называется вписанным в многогранник.
| [2] | Шар всегда можно описать: | Шар всегда можно вписать: |
|---|---|---|
| 1 | Около пирамиды, боковые рёбра которой равны. Тогда центр О шара лежит на высоте пирамиды. | В конус, тогда центром шара служит центр окружности, вписанной в осевое сечение конуса. |
| 2 | Около правильной усечённой пирамиды всегда. Тогда центр О шара лежит на высоте усечённой пирамиды, проходящей через центры оснований. | В равносторонний цилиндр. В таком случае осевым сечением является квадрат. |
| 3 | Около прямой призмы, если около её основания можно описать окружность. Тогда центр О шара лежит в середине отрезка, соединяющего центры описанных около оснований окружностей. | В прямую призму, когда в основание призмы можно вписать окружность, а диаметр этой окружности равен высоте призмы шара.
|
| 4 | Около цилиндра всегда. Тогда центром шара служит центр симметрии осевого сечения цилиндра. | В пирамиду, боковые грани которой равнонаклонены к плоскости основания. Центр шара лежит на высоте пирамиды — это точка пересечения высоты с биссектрисой угла между апофемой и проекцией этой апофемы на плоскость основания. |
| 5 | Около конуса всегда. Центром шара служит центр окружности, описанной около осевого сечения конуса. | |
| 6 | Около усечённого конуса всегда. Центром шара служит центр окружности, описанной около осевого сечения конуса. |
Комбинации многогранников и тел вращения
| Цилиндр — Призма[3] | |
|---|---|
| Цилиндр можно назвать вписанным в призму, если его основания вписаны в основания цилиндра. При этом, призма называется описанной около цилиндра.
Свойства: В призму можно вписать цилиндр только тогда, когда в её основание вписывается окружность. Радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Высота цилиндра и высота призмы равны между собой. |
Цилиндр называется описанным около призмы, если его основания описаны около оснований цилиндра. При этом, призма называется вписанной в цилиндр.
Свойства: Около призмы можно описать цилиндр в том случае, если около её оснований можно описать окружности. Радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, описанной около основания призмы. Высота цилиндра и высота призмы равны между собой. |
| Цилиндр — Пирамида[3] | |
| Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание является частью основания пирамиды. | Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит одному из его оснований, а другое его основание описано около основания самой пирамиды. Причём, описать цилиндр около пирамиды можно только в том случае, если в основании пирамиды находится вписанный многоугольник. |
| Конус — Призма[3] | |
| Конус вписан в призму, если его основание вписано в одно из оснований призмы, а вершина лежит в другом основании призмы. Соответственно, призма оказывается описана около конуса.
Свойства: Если конус вписан в прямую призму, то часть сечения комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса, представляет собой прямоугольник. |
Конус называется описанным около призмы, если окружность основания конуса описана около основания самой призмы. |
| Конус — Пирамида[3] | |
| Конус является вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса описано вокруг основания пирамиды.
Свойства: Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы (высота боковой грани) пирамиды равны между собой. |
Как и в случае с вписанным, описанным вокруг пирамиды называется конус, если вершины обеих фигур совпадают, а основание конуса описано вокруг основания пирамиды.
Свойства: Конус можно описать вокруг пирамиды, но только если все боковые рёбра пирамиды равны между собой. |
| Сфера — Призма[3] | |
| Сфера называется вписанной в призму, если она касается каждой из граней призмы.
Свойства: В призму можно вписать сферу только тогда, когда в перпендикулярное сечение призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности: R = r = 0,5H, где R — радиус вписанного шара, r — радиус вписанной окружности, H — высота призмы. |
Сфера называется описанной вокруг призмы, если абсолютно все вершины призмы лежат на сфере.
Свойства: Около призмы можно описать сферу только тогда, когда призма прямая, а около её основания можно описать окружность. |
| Сфера — Пирамида[3] | |
| В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке.
Тогда эта точка будет являться центром сферы. |
Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность.
Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды, но перпендикулярно им. |
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 Государственная образовательная платформа. Комбинации многогранников и круглых тел. resh.edu.ru. Дата обращения: 29 января 2024.
- ↑ 1 2 3 И. А. Кочеткова. Шар и сфера. Комбинации многогранников и тел вращения (PDF). mgpk.by. Филиал «Молодечненский государственный политехнический колледж» учреждения образования «Республиканский институт профессионального образования». Дата обращения: 29 января 2024.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 Семенова В.М. Комбинации многогранников и тел вращения. Студенческий научный форум. Дата обращения: 29 января 2024.
Литература
- Александров А. Д., Вернер А. Л., Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2004.
- Атанасян Л. С., Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразовательных учреждений базовый и профил. уровни — 16 — е изд. — М.: Просвещение, 2007.
- Роганин А. Н., Алгебра и геометрия в таблицах и схемах. Лучше, чем учебник!, 2006.
- Маслова Т. Н., Суходский А. М., Математика. Новый полный справочник школьника для подготовки к ЕГЭ — 2017.
- Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008.