Связанные колебания

Связанные колебания возникают в системах с двумя и более степенями свободы, взаимодействующих между собой, которые аналитически рассматривают как систему с одной степенью свободы. Решения для связанных систем зависят от типа связей между взаимодействующими системами, их делят на сильные и слабые, диссипативные, линейные и нелинейные. В связанных линейных системах с сильными связями связанные колебания представимы в виде линейной суперпозиции их нормальных (собственных) колебаний, число которых равно числу взаимодействующих систем, но с частотами, несовпадающими с собственными частотами систем в отсутствие связанности друг с другом. При суперпозиции набора нормальных колебаний с близкими частотами возникают т. н. биения^[2].

На рисунке представлены два механических маятника, на концах которых расположены массы ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$, а подвесы этих маятников соединены пружиной. Колебания такой системы (связанные пружиной физические маятники) зависит от начальных условий — если одновременно отвести массы маятников из положения равновесия в одну сторону, не растягивая пружины, и отпустить, реализуются колебания, показанные в средней части рисунка. Если в такой системе существует диссипация энергии, то с течением времени влияние пружины приведёт к усложнению колебаний, так как она представляет собой слабую связь между маятниками. В нижней части рисунка массы маятников отклоняют на разные углы в противоположных направлениях, растягивая пружину, после чего колебания сразу приобретают сложный характер. Решением задачи о колебаниях такой связанной слабой связью системы может быть суперпозиция колебаний в одной плоскости, вызванных отклонением масс от положения равновесия, и колебаний, обусловленных сжатием и растяжением связывающих маятники пружины.

Примем частоту нормальных колебаний маятников при синхронном колебании ${\displaystyle w_{1}}$, а в противофазе — ${\displaystyle w_{2}}$, а смещения как ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$. Тогда аналитически колебания такой системы можно представить как суперпозицию двух колебаний:

Постоянные ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle \varphi _{1}}$, ${\displaystyle \varphi _{2}}$ определяются из начальных условий, определяемых в начальный момент времени ${\displaystyle t=0}$:

Аналогичные уравнения можно получить, используя динамические законы движения.