Квантовый гармонический осциллятор

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

${\displaystyle \!{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat {q}}^{2}}{2}}}$

В координатном представлении ${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \partial /\partial x}$ , ${\displaystyle {\hat {q}}=x}$. Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых дифференциальное уравнение в частных производных

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}\psi (x)=E\psi (x)}$

имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций.

Для ${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\ ,\ n=0,1,2,\ldots }$

решение имеет вид:

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),}$

функции ${\displaystyle H_{n}}$ — полиномы Эрмита:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}$

Данный спектр значений E заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи (эквидистантны), то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна ${\displaystyle \hbar \omega }$; во-вторых, наименьшее значение энергии равно ${\displaystyle \hbar \omega /2}$. Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

${\displaystyle {\hat {H}}={{\hat {p}}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}{\hat {q}}^{2}+\lambda {\hat {q}}^{3}}$

Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования) кубическое слагаемое равно

${\displaystyle \lambda \left({\hbar \over 2m\omega }\right)^{3 \over 2}({\hat {a}}+{\hat {a}}^{+})^{3}.}$

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния ${\displaystyle \left|\psi _{E}\right\rangle }$ равна

${\displaystyle \Delta E^{(2)}=\lambda ^{2}\left\langle \psi _{E}\right|q^{3}{1 \over E-\hbar \omega /2}q^{3}\left|\psi _{E}\right\rangle .}$

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i=1}^{N}{{\hat {p}}_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{i<j}^{N}({\hat {q}}_{i}-{\hat {q}}_{j})^{2}}$

Здесь под ${\displaystyle {\hat {q}}_{i}}$ и ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$ подразумеваются отклонение от положения равновесия и импульс ${\displaystyle i}$-той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — Бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.

Под влиянием внешней силы ${\displaystyle f(t)}$ квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии (${\displaystyle n}$) на другой (${\displaystyle m}$). Вероятность этого перехода ${\displaystyle W_{n,m}(t)}$ для осциллятора без затухания даётся формулой:

${\displaystyle W_{n,m}(t)={\frac {n!}{m!}}|\delta |^{2(n-m)}exp\left(-|\delta ^{2}|\left(L_{n}^{m-n}(|\delta |^{2})\right)^{2}\right)}$,

где функция ${\displaystyle \delta (t)}$ определяется как:

${\displaystyle \delta (t)=-il\hbar \int \limits _{0}^{t}{f(\tau )exp(i\omega \tau )d\tau }}$,

а ${\displaystyle L_{m}^{m-n}}$ — полиномы Лагерра.