Пикок, Джордж

Пикок родился в Торнтон-Холле, Дентон, недалеко от Дарлингтона, графство Дарем. Его отец, Томас Пикок, был священником Церкви Англии, настоятелем и в течение 50 лет викарием прихода Дентон, где он также содержал школу. В ранние годы Пикок не проявлял признаков гениальности. Он больше отличался смелыми достижениями в лазании, чем особой привязанностью к учёбе. Первоначально он получил начальное образование у своего отца, а затем в школе Седберга^[5]. В возрасте 17 лет он был отправлен в школу Ричмонда под руководством Джеймса Тейта, выпускника Кембриджского университета. В этой школе он значительно отличился как в классике, так и в элементарной математике, необходимой для поступления в Кембридж. В 1809 году он стал студентом Тринити-колледжа в Кембридже.

В 1813 году Пикок получил звание Second Wrangler и вторую премию Смита, а старшим рэнглером стал Джон Гершель. Два года спустя он стал кандидатом на стипендию в своём колледже и сразу же выиграл её, отчасти благодаря своим обширным и точным знаниям классики. Стипендия тогда означала около 200 фунтов стерлингов в год, выплачиваемых в течение семи лет при условии, что стипендиат не женится в это время, и могла быть продлена после семи лет при условии, что стипендиат примет духовный сан, что Пикок и сделал в 1819 году^[6].

Через год после получения стипендии Пикок был назначен тьютором и лектором своего колледжа, должность, которую он занимал в течение многих лет. Пикок, как и многие другие студенты его положения, был глубоко впечатлён необходимостью реформирования позиции Кембриджа, игнорирующего дифференциальную нотацию для исчисления, и, будучи ещё студентом, образовал лигу с Бэббиджем и Гершелем для принятия мер по её осуществлению. В 1812 году они образовали то, что они назвали Аналитическим обществом, целью которого было заявлено отстаивание d-изма Континента против dot-ажа университета.

Первым шагом со стороны Аналитического общества был перевод с французского языка небольшой работы Лакруа по дифференциальному и интегральному исчислению; он был опубликован в 1816 году^[7]. В то время на французском языке были лучшие руководства, а также величайшие труды по математике. Пикок последовал за переводом томом, содержащим обширную Коллекцию примеров применения дифференциального и интегрального исчисления, которая была опубликована в 1820 году^[8]. Продажа обеих книг была быстрой и существенно способствовала достижению цели Общества. В то время высокие рэнглеры одного года становились экзаменаторами математического трайпоса через три или четыре года. Пикок был назначен экзаменатором в 1817 году, и он не преминул использовать эту должность как мощный рычаг для продвижения дела реформы. В его вопросах, заданных для экзамена, дифференциальная нотация была впервые официально применена в Кембридже. Нововведение не избежало порицания, но он написал другу следующее^[9]:

Эти несколько предложений дают представление о характере Пикока: он был пылким реформатором, и несколько лет принесли успех делу Аналитического общества.

Ещё одной реформой, над которой трудился Пикок, было преподавание алгебры. В 1830 году он опубликовал Трактат по алгебре, целью которого было поставить алгебру на истинно научную основу, адекватную развитию, которое она получила от рук континентальных математиков. Для возвышения астрономической науки было основано Астрономическое общество Лондона, и три реформатора Пикок, Бэббидж и Гершель снова были главными двигателями в этом предприятии. Пикок был одним из самых ревностных сторонников астрономической обсерватории в Кембридже и одним из основателей Философского общества Кембриджа.

В 1831 году Британская научная ассоциация провела своё первое заседание в древнем городе Йорк. Одной из первых принятых резолюций было получение отчётов о состоянии и прогрессе конкретных наук, которые должны были составляться время от времени компетентными лицами для информации ежегодных собраний, и первым в списке был отчёт о прогрессе математической науки. Уильям Уэвелл был вице-президентом собрания; ему было поручено выбрать докладчика. Сначала он попросил Уильяма Роуэна Гамильтона, который отказался; затем он попросил Пикока, который согласился. Пикок подготовил свой отчёт к третьему заседанию Ассоциации, которое состоялось в Кембридже в 1833 году; он охватывал алгебру, тригонометрию и арифметику синусов.

В 1837 году Пикок был назначен Лаундесовским профессором астрономии в Кембриджском университете. Объектом реформы были уставы университета; он усердно работал над этим и был назначен членом комиссии, назначенной правительством для этой цели.

Он был избран членом Королевского общества в январе 1818 года.

В 1842 году Пикок был избран членом Американского философского общества^[10].

Пикок был рукоположен в дьяконы в 1819 году, в священники в 1822 году и назначен викарием Уаймсволда в Лестершире в 1826 году (до 1835 года).

В 1839 году он был назначен деканом собора Или, Кембриджшир, должность, которую он занимал до конца своей жизни, около 20 лет. Вместе с архитектором Джорджем Гилбертом Скоттом он предпринял крупную реставрацию здания собора. Это включало установку дощатого потолка^[11].

Занимая эту должность, он написал учебник по алгебре, Трактат по алгебре (1830). Позже появилось второе издание в двух томах, один из которых назывался Арифметическая алгебра (1842), а другой — О символической алгебре и её приложениях к геометрии положения (1845).

Главный вклад Пикока в математический анализ — его попытка поставить алгебру на строго логическую основу. Он основал то, что было названо британской алгеброй логики; к которой принадлежали Грегори, Де Морган и Буль. Его ответ Мазересу и Френду заключался в том, что наука алгебра состоит из двух частей — арифметической алгебры и символической алгебры — и что они ошибались, ограничивая науку арифметической частью. Его взгляд на арифметическую алгебру таков: «В арифметической алгебре мы рассматриваем символы как представляющие числа, а операции, которым они подвергаются, как включённые в те же определения, что и в обычной арифметике; знаки ${\displaystyle +}$ и ${\displaystyle -}$ обозначают операции сложения и вычитания только в их обычном значении, и эти операции рассматриваются как невозможные во всех случаях, когда символы, подвергаемые им, обладают значениями, которые сделали бы их таковыми в случае, если бы они были заменены цифровыми числами; таким образом, в выражениях, таких как ${\displaystyle a+b}$, мы должны предполагать, что ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ являются величинами одного и того же рода; в других, таких как ${\displaystyle a-b}$, мы должны предполагать, что ${\displaystyle a}$ больше ${\displaystyle b}$ и, следовательно, однородно с ним; в произведениях и частных, таких как ${\displaystyle ab}$ и ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$, мы должны предполагать, что множитель и делитель являются абстрактными числами; все результаты вообще, включая отрицательные величины, которые не могут быть строго выведены как законные выводы из определений нескольких операций, должны быть отвергнуты как невозможные или как чуждые науке».

Принцип Пикока можно сформулировать так: элементарный символ арифметической алгебры обозначает цифровое, то есть целое число; и каждая комбинация элементарных символов должна сводиться к цифровому числу, иначе она невозможна или чужда науке. Если ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — числа, то ${\displaystyle a+b}$ всегда число; но ${\displaystyle a-b}$ — число только тогда, когда ${\displaystyle b}$ меньше ${\displaystyle a}$. Опять же, при тех же условиях ${\displaystyle ab}$ всегда число, но ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ действительно число только тогда, когда ${\displaystyle b}$ является точным делителем ${\displaystyle a}$. Отсюда следующая дилемма: либо ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ должно считаться невозможным выражением в целом, либо значение фундаментального символа алгебры должно быть расширено так, чтобы включать рациональные дроби. Если выбрана первая часть дилеммы, арифметическая алгебра становится простой тенью; если выбрана вторая часть, операции алгебры не могут быть определены в предположении, что элементарный символ является целым числом. Пикок пытается выйти из затруднения, предполагая, что символ, который используется в качестве множителя, всегда является целым числом, но что символ на месте множимого может быть дробью. Например, в ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a}$ может обозначать только целое число, но ${\displaystyle b}$ может обозначать рациональную дробь. Но в арифметической алгебре нет более фундаментального принципа, чем то, что ${\displaystyle ab=ba}$; что было бы незаконным по принципу Пикока.

Одним из самых ранних английских авторов по арифметике является Роберт Рекорд, который посвятил свою работу королю Эдуарду VI.

Дело в том, что даже в арифметике два процесса умножения и деления обобщаются в общее умножение; и трудность состоит в переходе от первоначальной идеи умножения к обобщённой идее тензора, которая включает сжатие величины, а также её растяжение. Пусть ${\displaystyle m}$ обозначает целое число; следующий шаг — получить идею обратного ${\displaystyle m}$, не как ${\displaystyle {\frac {1}{m}}}$, а просто как ${\displaystyle /m}$. Когда ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle /n}$ объединяются, мы получаем идею рациональной дроби; ибо в общем случае ${\displaystyle m/n}$ не сведётся ни к числу, ни к обратному числу.

Предположим, однако, что мы обойдём это возражение; как Пикок закладывает основу для общей алгебры? Он называет её символической алгеброй и переходит от арифметической алгебры к символической алгебре следующим образом: «Символическая алгебра принимает правила арифметической алгебры, но полностью снимает их ограничения; таким образом, символическое вычитание отличается от той же операции в арифметической алгебре тем, что оно возможно для всех отношений значений используемых символов или выражений. Все результаты арифметической алгебры, которые выводятся путём применения её правил и которые являются общими по форме, хотя и частными по значению, являются также результатами символической алгебры, где они являются общими по значению, а также по форме; таким образом, произведение ${\displaystyle a^{m}}$ и ${\displaystyle a^{n}}$, которое равно ${\displaystyle a^{m+n}}$, когда ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ являются целыми числами и, следовательно, общими по форме, хотя и частными по значению, будет их произведением также, когда ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ являются общими по значению, а также по форме; ряд для ${\displaystyle (a+b)^{n}}$, определённый принципами арифметической алгебры, когда ${\displaystyle n}$ — любое целое число, если он представлен в общей форме, без ссылки на конечный член, может быть показан по тому же принципу эквивалентному ряду для ${\displaystyle (a+b)^{n}}$, когда ${\displaystyle n}$ является общим как по форме, так и по значению»^[12].

Принцип, указанный здесь с помощью примеров, был назван Пикоком «принцип перманентности эквивалентных форм», и на странице 59 Символической алгебры он формулируется так: «Какие бы алгебраические формы ни были эквивалентны, когда символы являются общими по форме, но специфическими по значению, они будут эквивалентны также, когда символы являются общими по значению, а также по форме».

Например, пусть ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ обозначают любые целые числа, но при условии, что ${\displaystyle b}$ меньше ${\displaystyle a}$, а ${\displaystyle d}$ меньше ${\displaystyle c}$; тогда арифметически можно показать, что ${\displaystyle (a-b)(c-d)=ac+bd-ad-bc}$. Принцип Пикока гласит, что форма на левой стороне эквивалентна форме на правой стороне не только тогда, когда указанные ограничения на то, чтобы быть меньше, сняты, но и когда ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ обозначают самый общий алгебраический символ. Это означает, что ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ могут быть рациональными дробями, или иррациональными числами, или мнимыми величинами, или даже операторами, такими как ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$. Эквивалентность не устанавливается посредством природы обозначаемой величины; эквивалентность предполагается истинной, а затем предпринимается попытка найти различные интерпретации, которые могут быть вложены в символ.

Нетрудно видеть, что стоящая перед нами проблема включает в себя фундаментальную проблему рациональной логики или теории познания; а именно, как мы можем подняться от частных истин к более общим истинам? Если ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ обозначают целые числа, из которых ${\displaystyle b}$ меньше ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle d}$ меньше ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle (a-b)(c-d)=ac+bd-ad-bc}$.

Сначала видно, что вышеуказанные ограничения могут быть сняты, и всё же вышеуказанное уравнение выполняется. Но антецедент всё ещё слишком узок; истинная научная проблема состоит в указании значения символов, которые, и только которые, допустят равенство форм. Это не поиск «каких-то значений», а «самого общего значения», которое позволяет эквивалентности быть истинной. Давайте рассмотрим некоторые другие случаи; мы обнаружим, что принцип Пикока не является решением трудности; великий логический процесс обобщения не может быть сведён к такой простой и произвольной процедуре. Когда ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ обозначают целые числа, можно показать, что ${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}$.

Согласно Пикоку, форма слева всегда должна быть равна форме справа, а значения ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ должны быть найдены путём интерпретации. Предположим, что ${\displaystyle a}$ принимает форму несоизмеримой величины ${\displaystyle e}$, основания натуральной системы логарифмов. Число является деградированной формой комплексной величины ${\displaystyle p+q^{\sqrt {-1}}}$, а комплексная величина является деградированной формой кватерниона; следовательно, одно значение, которое может быть присвоено ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$, — это значение кватерниона. Принцип Пикока привёл бы нас к предположению, что ${\displaystyle e^{m}e^{n}=e^{m+n}}$, где ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ обозначают кватернионы; но это как раз то, что отрицает Уильям Роуэн Гамильтон, изобретатель кватернионного обобщения. Есть основания полагать, что он ошибался, и что формы остаются эквивалентными даже при этом крайнем обобщении ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$; но суть в следующем: это не вопрос условного определения и формальной истины; это вопрос объективного определения и реальной истины. Пусть символы имеют предписанное значение; сохраняется ли эквивалентность или нет? И если она не сохраняется, какова более высокая или более сложная форма, которую принимает эквивалентность? Или существует ли вообще такая форма эквивалентности?

В политическом отношении Джордж Пикок был вигом. Он женился на Фрэнсис Элизабет, дочери Уильяма Селвина. У них не было детей.

Его последним публичным актом было посещение заседания комиссии по реформе университета. Он умер в Или, Кембриджшир, 8 ноября 1858 года на 68-м году жизни и был похоронен на кладбистве Или.