Гомоморфизм

Отображение ${\displaystyle f\colon G_{1}\to G_{2}}$ называется гомоморфизмом групп ${\displaystyle (G_{1},*)}$, ${\displaystyle (G_{2},\times )}$, если оно одну групповую операцию переводит в другую: ${\displaystyle f(a*b)=f(a)\times f(b)}$, то есть образ произведения равен произведению образов.

Понятие гомоморфизма как соотношение между парой алгебраических систем начало использоваться в работах немецкого математика Фробениуса, а обобщённое определение было сформулировано Эмми Нётер в 1929 году. Частными случаями гомоморфизма являются изоморфизм и автоморфизм^[1]. Некоторая общая теория, уточняющая понятия гомоморфизма, изоморфизма и морфизма, предложена известной группой французских математиков Николя Бурбаки в их книге «Теория множеств» (Глава IV, § 2).

• Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.
• Ядро гомоморфизма:
  • для гомоморфизма абелевых групп (в частности, для колец, векторных пространств и т. д.) — прообраз нуля;
  • для общих групп — прообраз единицы.

Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма (теорема о гомоморфизме).

• Мономорфизм — однозначный (инъективный) гомоморфизм.
• Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм.
• Биморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм.
• Изоморфизм — гомоморфизм с наличием обратного гомоморфизма.
• Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество.
• Автоморфизм — изоморфизм на само множество.