Символ бесконечности

Бесконечность может рассматриваться как неограниченность некоторого процесса, например, когда во втором постулате Евклида утверждается возможность продолжить бесконечно и непрерывно любую прямую, то имеется в виду, что процесс можно непрерывно продолжать, но существование такого самостоятельного объекта, как бесконечная прямая, из него не следует. Такого рода процессы и совокупности объектов, их описывающие, характеризуют потенциальную бесконечность.

Альтернативой является понятие актуальной бесконечности, которая означает рассмотрение конечно неизмеримых объектов как данность, как реально существующих, но при этом как единых и целостных, с которыми возможно оперировать. В таком ключе актуально бесконечное — как прямое и полное отрицание конечного — математики современности оперируют с актуально бесконечными множествами и актуально бесконечномерными пространствами.

В математике символ бесконечности используется для выражения потенциальной бесконечности.

Этот математический объект в разных математических теориях представляет геометрическую актуальную бесконечность.

• Бесконечно удалённая точка в классическом математическом анализе — одна из точек ${\displaystyle x_{1}=\infty }$ и ${\displaystyle x_{2}=-\infty }$ на расширенной числовой прямой — ${\displaystyle {\overline {R}}=R\cup \{+\infty \}\cup \{-\infty \}}$.
• Бесконечно удалённая точка в комплексном анализе — точка ${\displaystyle z=\infty }$ на расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$.
• Бесконечно удалённая точка в проективной геометрии — точка ${\displaystyle x=\infty }$, которой дополняется образ евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ при проективном преобразовании.

Если бесконечные промежутки с положительной или с отрицательной стороны не ограничены каким-либо вещественным числом, то считают, что у этих промежутков одним из концов или обоими концами служат несобственные числа ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$, полагая, что для любого вещественного числа ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ справедливо соотношение ${\displaystyle -\infty <x<+\infty }$. Обозначения и наименования бесконечных промежутков аналогичны тем названиям, как для конечных промежутков: ${\displaystyle [a,+\infty ),\quad (a,+\infty ),\quad (-\infty ,b],\quad (-\infty ,b),\quad (-\infty ,+\infty )}$. Так как ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$ по определению не входят в ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ они не включаются в эти множества.

Для несобственного элемента ${\displaystyle \infty }$ устанавливаются следующие правила действий:

${\displaystyle \infty +a=\infty }$, если ${\displaystyle a}$ конечно;

${\displaystyle \infty +\infty }$ — не имеет смысла;

${\displaystyle \infty \cdot a=\infty }$, если ${\displaystyle a\neq 0}$;

${\displaystyle \infty \cdot 0}$ — не имеет смысла.

Неравенства с символом ${\displaystyle \infty }$ не рассматриваются, так как не имеет смысла спрашивать, больше или меньше ${\displaystyle \infty }$, чем конечное ${\displaystyle a}$.

При анализе таких функций систему действительных чисел дополняют двумя несобственными элементами ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$, полагая ${\displaystyle -\infty <a<+\infty }$ для любого конечного ${\displaystyle a}$ и сохраняя основные свойства неравенств в расширенной числовой системе:

${\displaystyle (+\infty )+a=+\infty }$, если ${\displaystyle a\neq -\infty }$; ${\displaystyle (-\infty )+a=-\infty }$, если ${\displaystyle a\neq +\infty }$;

${\displaystyle (+\infty )+(-\infty )}$ — не имеет смысла;

${\displaystyle (+\infty )\cdot a=+\infty }$, если ${\displaystyle a>0}$; ${\displaystyle (+\infty )\cdot a=-\infty }$, если ${\displaystyle a<0}$;

${\displaystyle (-\infty )\cdot a=-\infty }$, если ${\displaystyle a>0}$; ${\displaystyle (-\infty )\cdot a=+\infty }$, если ${\displaystyle a<0}$;

${\displaystyle (+\infty )\cdot 0}$ и ${\displaystyle (-\infty )\cdot 0}$ — не имеют смысла^[2].

Для последовательности точек ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$, точка ${\displaystyle x_{0}}$ называется пределом, если для любой окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x_{0}}$ существует такое натуральное ${\displaystyle N}$, что для всех ${\displaystyle n>N}$ выполняется включение ${\displaystyle x_{n}\in U}$. При этом пишут: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}}$^[3].

Такие последовательности имеют своим пределом либо одну из бесконечностей со знаком плюс или минус, либо символ бесконечности без знака. Тогда запись такой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ имеет вид: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$; ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=+\infty }$; ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty }$^[4].

В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$. Такое обозначение применяется как для самого ряда, так и для его суммы^[5].

Выражение, содержащее бесконечное множество числовых или функциональных сомножителей, каждый из которых отличен от нуля, записывается: ${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }(1+u_{k})}$^[6].

Такая функция переменного ${\displaystyle x}$, которая в данном процессе изменения ${\displaystyle x}$ становится и остаётся по абсолютной величине больше любого наперёд заданного числа. Это записывается следующим образом: ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=\infty }$.

Аналогичным образом определяются:${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=-\infty }$, ${\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=+\infty }$.

Функция переменного ${\displaystyle x}$, которая в данном процессе изменения ${\displaystyle x}$ становится и остаётся по абсолютной величине меньше любого заданного числа. Это записывается следующим образом: ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=0}$, ${\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=0}$^[7].

Если у функции ${\displaystyle f(x)}$ существует предел на бесконечности, равный ${\displaystyle A}$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ стремится к ${\displaystyle A}$ при стремлении ${\displaystyle x}$ к бесконечности и пишут:${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f\left(x\right)=A}$.

Если у функции ${\displaystyle f(x)}$ существует предел на плюс бесконечности, равный ${\displaystyle A}$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ стремится к ${\displaystyle A}$ при стремлении ${\displaystyle x}$ к плюс бесконечности и пишут:${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=A}$.

Если у функции ${\displaystyle f(x)}$ существует предел на минус бесконечности, равный ${\displaystyle A}$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ стремится к ${\displaystyle A}$ при стремлении ${\displaystyle x}$ к минус бесконечности и пишут:${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=A}$.

Знак бесконечности можно условно интерпретировать в том смысле, что переменная достигает сколь угодно больших значений (стремится к бесконечности), но не принимает значения, равного бесконечности^[8].