Скобки

До появления специальных символов перед выражением, которое нужно заключить в скобки, ставили слово "collect" или буквы "cs" от "et communis" или "ut" от "universal" (Лука Пачоли, Джероламо Кардано), "b", означающее "binomial", и др. Знаки, выполняющие роль скобок, появились в XV в. В сочинении Шюке (1484) вместо скобок выражение подчёркивалось горизонтальной чертой. То же обозначение употреблял Бомбелли (1550), позднее он стал писать букву "L" перед таким выражением, а в конце выражения — перевёрнутую букву "7"; от такой записи произошли квадратные скобки. Черта сверху употреблялась очень долго, это обозначение используют Декарт, Ньютон, Лопиталь, редко Лейбниц. Ещё в "Theorie des nombres" Лежандра наряду с различными скобками фигурируют ${\displaystyle {\overline {CA\times B}}=C\times {\overline {AB}}}$ (1830).

Подобие скобок изобрёл Тарталья (1556), у него символ "Rv" (от "Radix universalis", т. е. «общий корень») означал, что корень извлекается из суммы, а не только из первого слагаемого. Круглые скобки встречаются у него, а затем у Жирара (1629). Это почти единственное, что осталось в математике от символов, употребляемых Жираром; в некоторых странах ещё используются его "tan", "cotan". В сочинениях Виета появляются фигурные скобки (1593). Широкое применение скобки получили лишь в первой половине XVIII в., благодаря Лейбницу и ещё больше Эйлеру. И название "скобки" произошло от введённого Эйлером немецкого термина «Klammer». В учебные курсы скобки вошли поздно. О расстановке скобок в арифметике впервые говорит Шредер ("Lehrbuch der Arithmetik und Algebra", 1873)^[5].

Круглые скобки в математике используются для задания приоритета арифметических и логических операций^[1][3]. Например, запись (2 + 3) · 4 означает, что сначала выполняется сложение, а затем умножение.

Круглые скобки используются также:

• для записи аргументов функции: ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle g(y,z)}$;
• для записи векторов и матриц:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}},\qquad {\hat {A}}={\begin{pmatrix}x&y\\z&v\end{pmatrix}};}$

• для записи биномиальных коэффициентов:

${\displaystyle C_{n}^{k}={n \choose k};}$

• для обозначения открытых промежутков и полуинтервалов^[1].

При обозначении числовых промежутков круглые скобки показывают, что граничная точка не входит в множество:

• ${\displaystyle (1;3]}$ означает ${\displaystyle 1<x\leq 3}$;
• ${\displaystyle [1;3)}$ означает ${\displaystyle 1\leq x<3}$;
• ${\displaystyle (1;3)}$ означает ${\displaystyle 1<x<3}$^[1].

Круглые скобки применяются и для записи периода бесконечной десятичной дроби:

${\displaystyle {\frac {3}{22}}=0{,}1(36).}$

В химии круглые скобки выделяют повторяющиеся группы атомов в формуле вещества:

(NH₄)₂CO₃, Fe₂(SO₄)₃^[6].

В русском языке круглые скобки используются как знак препинания для выделения вставных слов, замечаний и пояснений^[2].

В программировании круглые скобки обычно применяются при записи аргументов функций и в управляющих конструкциях^[7].

Квадратные скобки в математике используются как скобки второго уровня вложенности, например:

${\displaystyle [(2+3)\cdot 4]^{2}}$^[3].

Ими также обозначают:

• закрытый промежуток:

${\displaystyle [1;3]}$, то есть ${\displaystyle 1\leq x\leq 3}$;

• в ряде учебников — целую часть числа;
• иногда — запись совокупности уравнений или неравенств^[1][3].

В лингвистике квадратные скобки употребляются для фонетической транскрипции^[8].

В научных и учебных текстах квадратные скобки используются для вставок и пояснений внутри цитаты^[2].

В химии квадратными скобками обозначают комплексные ионы:

[Ag(NH₃)₂]⁺, Na₂[Fe(NO)(CN)₅]^[6].

В программировании квадратные скобки чаще всего используются для обозначения индекса элемента массива^[7].

Фигурные скобки в математике применяются:

• для обозначения множеств:

${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$;

• для записи систем уравнений и неравенств;
• для задания кусочно-заданных функций^[1][3]:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x/7.5,&{\text{если }}x<10,\\10x,&{\text{если }}x\geq 10.\end{cases}}}$

В программировании фигурные скобки во многих языках служат для выделения блока кода^[7].

В математике угловые скобки используются для обозначения скалярного произведения векторов и элементов предгильбертова пространства^[4]:

${\displaystyle \langle x,y\rangle .}$

В физике угловые скобки применяются:

• для обозначения усреднения:

${\displaystyle \langle f(t)\rangle }$;

• в квантовой механике — в нотации бра- и кет-векторов:

${\displaystyle |\psi \rangle ,\ \langle \psi |,\ \langle \psi _{k}|\psi _{l}\rangle }$^[9].

В лингвистике угловые скобки могут использоваться для обозначения графем^[8].

В ASCII-текстах угловые скобки обычно заменяются знаками < и >.

Косые скобки применяются в некоторых системах записи и в программировании. Например, в языках семейства Си запись

/* комментарий */

обозначает комментарий в исходном тексте программы^[7].

В ряде языков программирования косые скобки используются также при записи регулярных выражений.

Прямые скобки в математике служат для обозначения:

• модуля числа:

${\displaystyle |-5|=5;}$

• длины вектора;
• определителя матрицы^[4]:

${\displaystyle \det {\hat {A}}={\begin{vmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{vmatrix}}.}$

Двойные прямые скобки используются главным образом для обозначения нормы вектора или элемента линейного пространства^[4]:

${\displaystyle \|x\|.}$

Иногда такие скобки применяются и при записи матриц.