Целая рациональная функция

• Особым случаем целой рациональной функции является нулевая функция ${\displaystyle f(x)=0}$; её степень принято считать неопределённой (или полагать равной ${\displaystyle -\infty }$), так как условие ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ для неё не выполняется.
• Неотрицательное целое число ${\displaystyle n}$ (наибольший показатель степени переменной ${\displaystyle x}$) определяет степень полиномиальной функции.
• Действительные числа ${\displaystyle a_{n},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0}}$ называются коэффициентами полиномиальной функции. При этом число ${\displaystyle a_{n}}$ часто называют старшим коэффициентом, а число ${\displaystyle a_{0}}$ — свободным коэффициентом.

Пример 1. Функция ${\displaystyle f(x)=-2x^{3}+3x^{2}-5x+4}$ является полиномиальной функцией третьей степени с коэффициентами ${\displaystyle -2}$; ${\displaystyle 3}$; ${\displaystyle -5}$ и ${\displaystyle 4}$.

Пример 2. Функция ${\displaystyle f(x)=x^{5}+3x^{3}+5x}$ является полиномиальной функцией пятой степени с коэффициентами ${\displaystyle 1}$; ${\displaystyle 0}$; ${\displaystyle 3}$; ${\displaystyle 0}$; ${\displaystyle 5}$ и ${\displaystyle 0}$.

Пример 3. Функция ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{3}}x^{2}-{\sqrt {2}}}$ является полиномиальной функцией второй степени (то есть квадратичной функцией) с коэффициентами ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$; ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$.

Полиномиальная функция над полем действительных чисел определена всюду и является непрерывной на всей своей области определения.^[5]Её множество значений также является подмножеством множества действительных чисел. При чётном ${\displaystyle n\geqslant 2}$ множество значений будет ограничено снизу (если ${\displaystyle a_{n}>0}$) или сверху (если ${\displaystyle a_{n}<0}$); при нечётном ${\displaystyle n}$ множество значений совпадает со всей числовой прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Поведение полиномиальной функции при ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ (то есть при неограниченном возрастании или убывании аргумента) зависит от чётности степени ${\displaystyle n}$ и знака старшего коэффициента ${\displaystyle a_{n}}$. При этом график полиномиальной функции ведёт себя так же, как и график степенной функции ${\displaystyle g(x)=a_{n}x^{n}}$.^[6] Для постоянной функции (${\displaystyle n=0}$) значение ${\displaystyle f(x)=a_{0}}$ при всех ${\displaystyle x}$, и функция стремится к ${\displaystyle a_{0}}$ при ${\displaystyle x\to \pm \infty }$.

	чётное ${\displaystyle n\geqslant 2}$		нечётное ${\displaystyle n\geqslant 1}$
${\displaystyle a_{n}>0}$	${\displaystyle f(x)\to +\infty }$ при ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ (множество значений ограничено снизу)		${\displaystyle f(x)\to -\infty }$ при ${\displaystyle x\to -\infty }$ ${\displaystyle f(x)\to +\infty }$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$
${\displaystyle a_{n}<0}$	${\displaystyle f(x)\to -\infty }$ при ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ (множество значений ограничено сверху)		${\displaystyle f(x)\to +\infty }$ при ${\displaystyle x\to -\infty }$ ${\displaystyle f(x)\to -\infty }$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$

При ${\displaystyle n=0}$ полиномиальная функция является постоянной: ${\displaystyle f(x)=a_{0}}$; её предел при ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ конечен и равен ${\displaystyle a_{0}}$. Предел полиномиальной функции в каждой точке ${\displaystyle x_{0}}$ совпадает со значением функции в этой точке:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$.

Пример 4. Для функции ${\displaystyle f(x)=3x^{8}-5x^{4}+1}$ имеем:

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }(3x^{8})=+\infty ,}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=f(1)=3-5+1=-1.}$

Полиномиальная функция является чётной, если все показатели степени в её записи являются чётными числами. График такой функции обладает осевой симметрией по отношению к оси ординат. Эта симметрия имеет место ввиду равенства ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$, справедливого по отношению к чётным функциям.^[2] Чётными, например, являются следующие полиномиальные функции:

• ${\displaystyle f(x)=-2x^{4}+3x^{2}}$ с показателями ${\displaystyle 4}$ и ${\displaystyle 2}$
• ${\displaystyle f(x)=-2x^{4}+3x^{2}+1}$ с показателями ${\displaystyle 4}$; ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 0}$
• ${\displaystyle f(x)=5x^{6}-2}$ с показателями ${\displaystyle 6}$ и ${\displaystyle 0}$

Полиномиальная функция является нечётной, если все показатели степени в её записи являются нечётными числами. График такой функции обладает центральной симметрией по отношению к центру системы координат. Эта симметрия имеет место ввиду равенства ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$, выполняющегося для нечётных функций. Нечётными являются, например, следующие полиномиальные функции:

• ${\displaystyle f(x)=2x^{7}-3x^{5}}$ с показателями ${\displaystyle 7}$ и ${\displaystyle 5}$
• ${\displaystyle f(x)=-2x^{5}+3x^{3}-2x}$ с показателями ${\displaystyle 5}$; ${\displaystyle 3}$ и ${\displaystyle 1}$

Если в записи полиномиальной функции встречаются как чётные, так и нечётные показатели, такая функция не является ни чётной, ни нечётной. По этой причине её график не обладает симметрией ни по отношению к оси ординат, ни по отношению к центру системы координат. Тем не менее, такие функции могут обладать более сложными случаями симметрии. В частности, справедливы следующие утверждения:

• Если ${\displaystyle f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)}$ для некоторого числа ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$, то график этой функции обладает осевой симметрией по отношению к прямой ${\displaystyle x=x_{0}}$.
• Если ${\displaystyle f(x_{0}+x)-y_{0}=-(f(x_{0}-x)-y_{0})}$ для некоторой пары чисел ${\displaystyle x_{0},y_{0}\in \mathbb {R} }$, то график этой функции обладает центральной симметрией по отношению к точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

Кроме того, также имеют место следующие свойства:

• график каждой полиномиальной функции второй степени является симметричным по отношению к прямой, проходящей параллельно оси ординат через вершину параболы, которая одновременно также является точкой экстремума этой функции.
• график каждой полиномиальной функции третьей степени является симметричным по отношению к своей точке перегиба.

Полиномиальная функция дифференцируема во всей своей области определения. Производная полиномиальной функции

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}$

вычисляется по формуле:

${\displaystyle f'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dotsb +a_{1}.}$^[7]

Пример 5. Производная функции ${\displaystyle f(x)=2x^{3}-4x^{2}+5x-1}$ вычисляется следующим образом: ${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=(2x^{3}-4x^{2}+5x-1)'\\&=(2x^{3})'+(-4x^{2})'+(5x)'+(-1)'\\&=2\cdot 3x^{2}-4\cdot 2x+5\\&=6x^{2}-8x+5.\end{aligned}}}$

Полиномиальная функция также интегрируема во всей своей области определения.^[8] Первообразная полиномиальной функции вычисляется по формуле:

${\displaystyle F(x)={\frac {a_{n}}{n+1}}x^{n+1}+{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}+\dotsb +{\frac {a_{1}}{2}}x^{2}+a_{0}x+C,\quad C\in \mathbb {R} .}$

Пример 6. Первообразная той же функции ${\displaystyle f(x)}$, что и в примере выше:

${\displaystyle F(x)=\int (2x^{3}-4x^{2}+5x-1),dx={\frac {1}{2}}x^{4}-{\frac {4}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}-x+C,\quad C\in \mathbb {R} .}$

Производная полиномиальной функции степени ${\displaystyle n\geqslant 1}$ является полиномиальной функцией степени ${\displaystyle n-1}$; первообразная — полиномиальной функцией степени ${\displaystyle n+1}$.

Нули полиномиальной функции совпадают с корнями многочлена, присутствующего в её уравнении. Таким образом, для нахождения нулей необходимо решить уравнение ${\displaystyle f(x)=0}$. Метод решения во многом зависит от конкретного уравнения функции.

Если функция ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}$ записана в факторизованном виде

${\displaystyle f(x)=a_{n}\cdot (x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\dotsb (x-x_{m})^{k_{m}},}$

где каждый из сомножителей представляет собой линейный двучлен, то действительные числа ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, …, ${\displaystyle x_{m}}$ являются нулями функции ${\displaystyle f(x)}$, а натуральные числа ${\displaystyle k_{1}}$, ${\displaystyle k_{2}}$, …, ${\displaystyle k_{m}}$ показывают кратность соответствующих нулей этой функции. При этом выполняется условие: ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{m}\leqslant n}$. Таким образом, степень ${\displaystyle n}$ функции ${\displaystyle f(x)}$ определяет максимально возможное число её нулей над полем действительных чисел.^[9] В случае обобщения полиномиальной функции на поле комплексных чисел, в соответствии с основной теоремой алгебры, будет выполняться равенство: ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{m}=n}$.^[4]

Пример 7. Полиномиальная функция ${\displaystyle f(x)=-0{,}01\cdot x^{3}\cdot (x-2)\cdot (x+3)^{2}\cdot (x^{2}+1)}$ имеет три вещественных нуля: ${\displaystyle x_{1}=0}$ (кратности 3), ${\displaystyle x_{2}=2}$ (кратности 1) и ${\displaystyle x_{3}=-3}$ (кратности 2). Квадратный двучлен ${\displaystyle x^{2}+1}$ не имеет действительных корней, поэтому не может быть далее факторизован на линейные сомножители.

В общем, для нахождения нулей полиномиальной функции степени ${\displaystyle n=1}$ и ${\displaystyle n=2}$ используются методы, применяемые для решения соответственно линейных и квадратных уравнений. Для нахождения нулей полиномиальной функции степени ${\displaystyle n\geqslant 3}$ там, где это возможно, могут быть использованы различные специальные методы решения алгебраических уравнений высших степеней (в особенности это касается биквадратных уравнений и уравнений вида ${\displaystyle ax^{n}+b=0}$). В более общих случаях применяются численные методы (например, метод Ньютона).

Методы нахождения рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами основаны на теореме о рациональных корнях и следствии из теоремы Безу^[10]. В частности, для факторизации полиномиальной функции ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}$ с целыми коэффициентами сначала среди всех делителей свободного коэффициента ${\displaystyle a_{0}}$ подбирается один корень ${\displaystyle x_{0}}$, то есть такое целое число, для которого справедливо: ${\displaystyle f(x_{0})=0}$. Затем путём деления столбиком или с помощью схемы Горнера многочлен ${\displaystyle f(x)}$ делится на двучлен ${\displaystyle x-x_{0}}$, что приводит к факторизации ${\displaystyle f(x)=(x-x_{0})\cdot g(x)}$, где ${\displaystyle g(x)}$ — многочлен степени ${\displaystyle n-1}$. Таким образом, степень исходной функции, а значит, и её сложность, уменьшается. Нахождение нулей функции ${\displaystyle f(x)}$ сводится к нахождению нулей функции ${\displaystyle g(x)}$.

Пример 8. Для нахождения нулей функции ${\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}+5x+150}$ (см. пример) с целыми коэффициентами сначала «угадывается» один корень (число ${\displaystyle 5}$ находится среди делителей числа ${\displaystyle 150}$), а затем исходный многочлен ${\displaystyle f(x)}$ делится на двучлен ${\displaystyle x-5}$. Дальнейшее нахождение остальных нулей функции ${\displaystyle f(x)}$ сводится к нахождению нулей результирующей функции ${\displaystyle g(x)=x^{2}-7x-30}$, которые легко можно найти, решив соответствующее квадратное уравнение.

Так как необходимым условием для существования локального экстремума функции в точке ${\displaystyle x_{0}}$ является нулевое значение первой производной в ней, то для нахождения экстремумов полиномиальной функции необходимо решить уравнение ${\displaystyle f'(x)=0}$, то есть вычислить нули её производной функции.^[11] Так как производная полиномиальной функции сама является полиномиальной функцией (более низкой степени), то для нахождения потенциальных точек экстремума ${\displaystyle x_{0}}$ применяются те же самые методы, что и для вычисления нулей самой функции. Из свойства о числе корней многочлена можно заключить, что полиномиальная функция степени ${\displaystyle n}$ теоретически может иметь до ${\displaystyle n-1}$ локальных экстремумов. Также легко видеть, что между двумя любыми нулями полиномиальной функции обязательно располагается как минимум один локальный экстремум.

Так как любая полиномиальная функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна и дважды дифференцируема в каждой точке ${\displaystyle x_{0}}$, то для проверки существования локального максимума и локального минимума полиномиальной функции достаточно убедиться, что найденное значение ${\displaystyle x_{0}}$ (нуль производной функции) удовлетворяет одному из достаточных критериев.

^[12]

Необходимым условием для существования точки перегиба функции в точке ${\displaystyle x_{0}}$ (то есть точки, в которой меняется выпуклость графика функции) является нулевое значение второй производной в ней. Таким образом, для нахождения точек перегиба полиномиальной функции необходимо решить уравнение ${\displaystyle f''(x)=0}$. Из свойства о числе корней многочлена можно заключить, что полиномиальная функция степени ${\displaystyle n}$ может иметь до ${\displaystyle n-2}$ точек перегиба.

Ввиду непрерывности и многократной дифференцируемости полиномиальной функции ${\displaystyle f(x)}$ в каждой точке ${\displaystyle x_{0}}$ для проверки существования точек перегиба достаточно убедиться, что найденное значение ${\displaystyle x_{0}}$ (нуль второй производной) удовлетворяет одному из достаточных критериев.^[13].

^[14].

Пример 9. Для нахождения точек перегиба функции ${\displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{2}}$ производятся следующие вычисления:

${\displaystyle f'(x)=3x^{2}+4x,\quad f''(x)=6x+4,\quad f'''(x)=6.}$

Так как ${\displaystyle f''(x)=0}$ при ${\displaystyle x=-{\frac {2}{3}}}$ и ${\displaystyle f'''\left(-{\frac {2}{3}}\right)=6\neq 0}$, то в ${\displaystyle x_{0}=-{\frac {2}{3}}}$ имеется точка перегиба.

Пример 10. В то же время функция ${\displaystyle g(x)=x^{4}-x}$ не имеет точки перегиба в ${\displaystyle x_{0}=0}$, несмотря на то, что ${\displaystyle g''(0)=0}$:

${\displaystyle g'(x)=4x^{3}-1,\quad g''(x)=12x^{2},\quad g'''(x)=24x.}$

Так как ${\displaystyle g'''(0)=0}$, критерий по третьей производной не применим. Ввиду того, что функция ${\displaystyle g''(x)=12x^{2}\geqslant 0}$ при всех ${\displaystyle x}$ и знака не меняет, функция ${\displaystyle g(x)}$ не имеет точки перегиба в ${\displaystyle x_{0}=0}$.

Для определения кратность нулей полиномиальной функции может быть использован тот факт, что любая полиномиальная функция является многократно дифференцируемой. Так, если ${\displaystyle x_{0}}$ — нуль кратности ${\displaystyle k}$ (но не кратности ${\displaystyle k+1}$) полиномиальной функции ${\displaystyle f(x)}$, то выполняются следующие условия:

${\displaystyle f(x_{0})=0,\quad f'(x_{0})=0,\quad f''(x_{0})=0,\quad \dotsc ,\quad f^{(k-1)}(x_{0})=0,\quad f^{(k)}(x_{0})\neq 0.}$

Пример 11. Для функции ${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x-1}$ справедливо: ${\displaystyle f'(x)=3x^{2}-6x+3}$; ${\displaystyle f''(x)=6x-6}$ и ${\displaystyle f'''(x)=6}$. Так как ${\displaystyle f(1)=1-3+3-1=0}$, то ${\displaystyle x_{0}=1}$ является нулём функции ${\displaystyle f(x)}$. Далее выполняется: ${\displaystyle f'(1)=3-6+3=0}$, ${\displaystyle f''(1)=6-6=0}$ и ${\displaystyle f'''(1)=6\neq 0}$. Таким образом, ${\displaystyle x_{0}=1}$ является нулём кратности 3.

Кратность нулей можно увидеть из графика полиномиальной функции:

• Нуль кратности 1: ${\displaystyle f(x_{0})=0}$, ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$. График функции пересекает ось абсцисс. Монотонность функции в точке ${\displaystyle x_{0}}$ не меняется, поскольку первая производная в этой точке отлична от нуля.
• Нуль чётной кратности ${\displaystyle k=2,4,6,\ldots }$: ${\displaystyle f(x_{0})=f'(x_{0})=\dotsb =f^{(k-1)}(x_{0})=0}$, ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}$. График функции касается оси абсцисс в точке ${\displaystyle x_{0}}$, имея в ней экстремум. Монотонность функции в ${\displaystyle x_{0}}$ меняется.
• Нуль нечётной кратности ${\displaystyle k=3,5,7,\ldots }$: ${\displaystyle f(x_{0})=f'(x_{0})=\dotsb =f^{(k-1)}(x_{0})=0}$, ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}$. График функции касается оси абсцисс в точке ${\displaystyle x_{0}}$, имея в ней точку перегиба. Монотонность функции в ${\displaystyle x_{0}}$ не меняется.