Необходимое и достаточное условия

В условном высказывании «если S, то N», выражение, обозначаемое S, называется антецедентом, а выражение, обозначаемое N, — консеквентом. Это условное высказывание может быть записано несколькими эквивалентными способами: «N, если S», «S только если N», «S влечёт N», «N вытекает из S», S → N, S ⇒ N, «N всякий раз, когда S» и др^[8].

В ситуации «N всякий раз, когда S» N называют необходимым условием для S. В обычном языке это эквивалентно утверждению, что если условное высказывание истинно, то консеквент N обязательно должен быть истинным — если S истинно. Другими словами, антецедент S не может быть истинным без истинности N. Например, чтобы кого-то называли Sократом, необходимо, чтобы у этого человека было Nазвание (имя). Аналогично, чтобы человек мог жить, необходимо, чтобы у него был воздух^[9].

S — достаточное условие для N. Если условное высказывание истинно, то если S истинно, N обязательно истинно; однако если условное высказывание истинно и N истинно, то S может быть как истинным, так и ложным. В обыденных терминах: «истинность S гарантирует истинность N»^[9]. Например, продолжая предыдущий пример, знание того, что кого-то зовут Sократ, достаточно для того, чтобы знать, что у этого человека есть Nазвание (имя).

Необходимое и достаточное условие требует, чтобы выполнялись обе импликации ${\displaystyle S\Rightarrow N}$ и ${\displaystyle N\Rightarrow S}$ (вторая также может быть записана как ${\displaystyle S\Leftarrow N}$). Первая импликация означает, что S — достаточное условие для N, а вторая — что S — необходимое условие для N. Это выражается как «S необходимо и достаточно для N», «S тогда и только тогда, когда N», или ${\displaystyle S\Leftrightarrow N}$.

Таблица истинности

S	N	${\displaystyle S\Rightarrow N}$	${\displaystyle S\Leftarrow N}$	${\displaystyle S\Leftrightarrow N}$
И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л
Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И

Утверждение, что Q необходимо для P, в обыденной речи эквивалентно: «P не может быть истинным, если Q не истинно» или «если Q ложно, то P ложно»^[1][9]. По контрапозиции это то же самое, что «всякий раз, когда P истинно, истинно и Q».

Логическая связь между P и Q выражается как: «если P, то Q» и обозначается «P ⇒ Q» (P влечёт Q). Также это может быть выражено как: «P только если Q», «Q, если P», «Q всякий раз, когда P», «Q когда P» и др. В математических текстах часто встречаются несколько необходимых условий, которые вместе составляют достаточное условие (то есть индивидуально необходимые и совместно достаточные^[9]), как показано в примере 5.

Пример 1

Для истинности утверждения «Джон — холостяк» необходимо, чтобы были истинны следующие утверждения:

1. не женат,
2. мужчина,
3. взрослый,

так как утверждение «Джон — холостяк» влечёт наличие у Джона всех этих трёх предикатов.

Пример 2

Для целых чисел, больших двух, нечётность является необходимым условием простоты, поскольку только два — единственное чётное простое число.

Пример 3

Гром необходим для молнии, поскольку молния никогда не бывает без грома. Всякий раз, когда есть молния, есть и гром. Гром не вызывает молнию (наоборот, молния вызывает гром), но поскольку молния всегда сопровождается громом, говорят, что гром необходим для молнии. (То есть в формальном смысле необходимость не подразумевает причинности.)

Пример 4

Достижение возраста не менее 30 лет является необходимым условием для занятия должности сенатора США. Если вам меньше 30 лет, вы не можете быть сенатором. То есть, если вы сенатор, то вам обязательно не менее 30 лет.

Пример 5

В алгебре, чтобы некоторая множество S с операцией ${\displaystyle \star }$ образовывало группу, необходимо, чтобы ${\displaystyle \star }$ была ассоциативной. Также необходимо, чтобы в S существовал особый элемент e, такой что для любого x из S выполнялось: e ${\displaystyle \star }$ x и x ${\displaystyle \star }$ e равны x. Также необходимо, чтобы для каждого x из S существовал обратный элемент x″, такой что x ${\displaystyle \star }$ x″ и x″ ${\displaystyle \star }$ x равны e. Ни одно из этих трёх необходимых условий по отдельности не является достаточным, но их конъюнкция — достаточна.

Если P достаточно для Q, то знание истинности P достаточно для вывода истинности Q; однако знание ложности P не даёт оснований для вывода ложности Q.

Логическая связь, как и прежде, выражается как «если P, то Q» или «P ⇒ Q». Это также может быть выражено как: «P только если Q», «P влечёт Q» и др. Может быть так, что несколько достаточных условий вместе составляют одно необходимое условие (то есть индивидуально достаточные и совместно необходимые), как показано в примере 5.

Пример 1

«Джон — король» влечёт, что Джон — мужчина. То есть знание того, что Джон — король, достаточно для вывода, что он — мужчина.

Пример 2

Делимость числа на 4 — достаточное (но не необходимое) условие его чётности, а делимость на 2 — и достаточное, и необходимое условие чётности.

Пример 3

Возникновение грома — достаточное условие для возникновения молнии: услышав гром и однозначно его распознав, можно заключить, что была молния.

Пример 4

Если Конгресс США принял законопроект, подписание его президентом — достаточное условие для того, чтобы он стал законом. Однако если президент не подписал законопроект, например, наложив вето, это не означает, что законопроект не стал законом (например, он мог стать законом через преодоление вето Конгрессом).

Пример 5

То, что центр игральной карты отмечен одной большой пикой (♠), достаточно для того, чтобы карта была тузом. Три других достаточных условия — если центр карты отмечен одной бубной (♦), червой (♥) или трефой (♣). Ни одно из этих условий не является необходимым для того, чтобы карта была тузом, но их дизъюнкция — необходима, так как ни одна карта не может быть тузом, не удовлетворяя хотя бы (а на самом деле — ровно) одному из этих условий.

Условие может быть необходимым или достаточным, но не обязательно обоими сразу. Например, быть млекопитающим (N) — необходимо, но не достаточно для того, чтобы быть человеком (S), а то, что число ${\displaystyle x}$ рационально (S), — достаточно, но не необходимо для того, чтобы ${\displaystyle x}$ было вещественным числом (N) (так как есть вещественные числа, не являющиеся рациональными).

Условие может быть одновременно необходимым и достаточным. Например, в настоящее время «сегодня 4 июля» — необходимое и достаточное условие для «сегодня День независимости в США». Аналогично, необходимым и достаточным условием обратимости матрицы M является то, что её определитель отличен от нуля.

С математической точки зрения, необходимость и достаточность дуальны друг другу. Для любых высказываний S и N утверждение «N необходимо для S» эквивалентно утверждению «S достаточно для N». Ещё один аспект этой дуальности: как показано выше, конъюнкция (логическое «и») необходимых условий может дать достаточность, а дизъюнкция (логическое «или») достаточных условий — необходимость. В третьем аспекте: если каждому математическому предикату N сопоставить множество T(N) объектов, событий или высказываний, для которых N истинно, то утверждение о необходимости N для S эквивалентно утверждению, что T(N) — надмножество T(S), а утверждение о достаточности S для N — утверждению, что T(S) — подмножество T(N).

С психологической точки зрения, необходимость и достаточность — ключевые аспекты классической теории понятий. Согласно классической теории, категория X в человеческом мышлении определяется набором индивидуально необходимых условий, которые вместе достаточны для X^[10]. Это контрастирует с вероятностной теорией понятий, согласно которой ни одна характеристика не является ни необходимой, ни достаточной, а категории имеют структуру, напоминающую семейное дерево.

Утверждение, что P необходимо и достаточно для Q, означает два утверждения:

1. что P необходимо для Q, ${\displaystyle P\Leftarrow Q}$, и что P достаточно для Q, ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$;
2. эквивалентно, это можно понимать так: P и Q необходимы друг для друга, ${\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}$, что также можно выразить как каждое из них достаточно для другого или влечёт другое.

Любой из этих случаев можно кратко выразить утверждением: «P тогда и только тогда, когда Q», что обозначается ${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$, а также ${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$ тождественно ${\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}$.

Например, в теории графов граф G называется двудольным, если можно раскрасить его вершины в два цвета — «чёрный» и «белый» — так, чтобы каждое ребро соединяло вершины разных цветов. Для любого графа необходимым и достаточным условием двудольности является отсутствие в нём циклов нечётной длины. Таким образом, обнаружение нечётных циклов в графе позволяет определить, является ли он двудольным, и наоборот. Философ^[11] мог бы охарактеризовать это так: «Хотя понятия двудольности и отсутствия нечётных циклов различаются по интенсионалу, их экстенсионал совпадает»^[12].

В математике теоремы часто формулируются в виде: «P истинно тогда и только тогда, когда истинно Q».

Поскольку, как объяснялось выше, необходимость одного для другого эквивалентна достаточности другого для первого, например, ${\displaystyle P\Leftarrow Q}$ эквивалентно ${\displaystyle Q\Rightarrow P}$, если P необходимо и достаточно для Q, то и Q необходимо и достаточно для P. Можно записать ${\displaystyle P\Leftrightarrow Q\equiv Q\Leftrightarrow P}$ и сказать, что утверждения «P истинно тогда и только тогда, когда Q» и «Q истинно тогда и только тогда, когда P» эквивалентны.