Коэффициент

Например, в многочлене ${\displaystyle 2x^{2}-x+3}$ коэффициенты равны 2, −1 и 3, а степени переменной ${\displaystyle x}$ в многочлене ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ имеют коэффициенты-параметры ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$.

Постоянный коэффициент (известный как свободный член или просто константа) — это величина, либо неявно относящаяся к нулевой степени переменной, либо не связанная с другими переменными в выражении; например, постоянные коэффициенты в приведённых выше выражениях — это число 3 и параметр ${\displaystyle c}$, входящий в ${\displaystyle 3=c\cdot x^{0}}$.

Коэффициент при наивысшей степени переменной в многочлене одной переменной называют старшим коэффициентом, например, в приведённых выше выражениях старшие коэффициенты — 2 и ${\displaystyle a}$ соответственно.

В контексте дифференциальных уравнений такие уравнения часто записывают в виде многочленов относительно одной или нескольких неизвестных функций и их производных. В этом случае коэффициенты дифференциального уравнения — это коэффициенты соответствующего многочлена, и они могут быть не только константами, но и функциями. Коэффициент называется постоянным коэффициентом, если он является постоянной функцией. Чтобы избежать путаницы, в этом контексте коэффициент, не связанный с неизвестными функциями или их производными, обычно называют свободным членом, а не постоянным коэффициентом. В частности, в линейном дифференциальном уравнении с постоянными коэффициентами свободный член обычно не предполагается быть постоянной функцией.

В математике коэффициент — это множитель при каком-либо слагаемом многочлена, ряда или выражения. Например, в многочлене

$${\displaystyle 7x^{2}-3xy+1{,}5+y,}$$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle y}$

Во многих случаях коэффициенты — это числа (как в каждом слагаемом приведённого примера), однако они могут быть параметрами задачи или любыми выражениями через эти параметры. В таком случае важно чётко различать символы, обозначающие переменные, и символы, обозначающие параметры. Следуя Р. Декарту, переменные часто обозначают ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и т. д., а параметры — ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ и т. д., но это не всегда так. Например, если ${\displaystyle y}$ считать параметром в приведённом выше выражении, то коэффициент при ${\displaystyle x}$ будет ${\displaystyle -3y}$, а постоянный коэффициент (относительно ${\displaystyle x}$) — ${\displaystyle 1{,}5+y}$.

Когда записывают

$${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle b}$

${\displaystyle c}$

${\displaystyle c}$

Любой многочлен одной переменной ${\displaystyle x}$ можно записать в виде

$${\displaystyle a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}}$$

${\displaystyle k}$

${\displaystyle a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}}$

${\displaystyle x^{3}-2x+1}$

${\displaystyle x^{2}}$

${\displaystyle 0x^{2}}$

${\displaystyle i}$

${\displaystyle a_{i}\neq 0}$

${\displaystyle a_{i}}$

$${\displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}}$$

В линейной алгебре систему линейных уравнений часто представляют с помощью матрицы коэффициентов. Например, для системы уравнений

$${\displaystyle {\begin{cases}2x+3y=0\\5x-4y=0\end{cases}},}$$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}.}$

Старший элемент строки (иногда старший коэффициент) в матрице — это первый ненулевой элемент в данной строке. Например, в матрице

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},}$$

Хотя в элементарной алгебре коэффициенты часто рассматриваются как константы, в более широком контексте их можно рассматривать и как переменные. Например, Координаты ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$ вектора ${\displaystyle v}$ в векторном пространстве с базисом ${\displaystyle \lbrace e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}\rbrace }$ являются коэффициентами базисных векторов в разложении

$${\displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\dotsb +x_{n}e_{n}.}$$