Нули функции

• Область определения функции ${\displaystyle D(f)}$— множество всех значений, которые может принимать аргумент функции. Если функция задана формулой, то она определена при всех тех значениях аргумента, при которых эта формула имеет смысл, то есть выполнимы все действия, указанные в выражении, стоящем в правой части формулы^[2].
• Область значений функции ${\displaystyle E(f)}$— множество всех значений, которые может принимать функция.
• График функции — множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
• Промежутки знакопостоянства — интервалы значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак. Определяются на основе нулей функции и точек, в которых функция не определена (точки разрыва)^[3].

• Графический метод нахождения нулей функции — построение графика функции и определение точек пересечения с осью абсцисс.

• Аналитический метод — решение уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$ с помощью алгебраических преобразований.

Рассмотрим функцию: ${\displaystyle y={\dfrac {x^{2}-4x+3}{(x^{3}+x)^{2}}}}$.

 Определим точки, в которых функция не определена: знаменатель дроби равен нулю при ${\displaystyle (x^{3}+x)^{2}=0}$

  Решим уравнение:
  ${\displaystyle x(x^{2}+1)=0}$

  ${\displaystyle x=0}$ — точка разрыва.

 Решим уравнение в числителе: ${\displaystyle x^{2}-4x+3=0}$

 Найдём дискриминант: ${\displaystyle D=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=4}$

 Вычислим корни: ${\displaystyle x_{1,2}={\dfrac {4\pm {\sqrt {4}}}{2}}={\dfrac {4\pm 2}{2}}}$

  ${\displaystyle x_{1}=1}$, ${\displaystyle x_{2}=3}$.

В точках с абсциссами 1 и 3, функция равна 0: ${\displaystyle f(1)=0}$ и ${\displaystyle f(3)=0}$.

 Рассмотрим функцию: ${\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+6}$.

 Решим уравнение ${\displaystyle f(x)=0}$: ${\displaystyle x^{2}-5x+6=0}$

 Найдём дискриминант:${\displaystyle D=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1}$

 Вычислим корни: ${\displaystyle x_{1,2}={\dfrac {5\pm {\sqrt {1}}}{2}}={\dfrac {5\pm 1}{2}}}$

 ${\displaystyle x_{1}={\dfrac {5+1}{2}}=3}$; ${\displaystyle x_{2}={\dfrac {5-1}{2}}=2}$.

 В точках с абсциссами 2 и 3, функция равна 0: ${\displaystyle f(2)=0}$ и ${\displaystyle f(3)=0}$.

Для успешной сдачи государственных экзаменов очень важно использовать функционально-графические представления для решения различных математических задач, для описания и анализа реальных зависимостей: определение положения точки по её координатам, координаты точки по её положению на плоскости. Необходимо уметь находить по графику значения функции, область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции.