Ферми-газ

Фе́рми-газ (или идеальный газ Фе́рми — Дира́ка) — газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака, имеющих малую массу и высокую концентрацию. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать, что потенциал, действующий на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми — Дирака — электронный газ.

Газ Ферми — Дирака при нулевой температуре

Самая низкая энергия классического газа (или газа Бозе — Эйнштейна) при $T=0$ равна $W_{0}=0$. То есть при нулевой температуре все частицы падают в самое низкое состояние и теряют всю свою кинетическую энергию. Однако, для газа Ферми это невозможно. Принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только одной ферми-частице с полуцелым спином.

Самую низкую энергию газа $W_{0}$ с $N$ частиц можно получить путём размещения по одной частице в каждом из $N$ квантовых состояний с наименьшей энергией. Поэтому энергия $W_{0}$ такого газа при $T=0$ будет отличной от нуля.

Величину $W_{0}$ несложно вычислить. Обозначим через $\mu _{0}$ энергию электрона в самом высоком квантовом состоянии, которое ещё заполнено при $T=0$. При нулевой температуре все квантовые состояния с энергией ниже $\mu _{0}$ заняты, а все квантовые состояния с энергией выше $\mu _{0}$ — свободны.

Поэтому должно существовать ровно $N$ состояний с энергией ниже или равной $\mu _{0}$. Этого условия достаточно для нахождения $\mu _{0}$. Поскольку объём микроскопический, трансляционные состояния находятся близко один к другому в импульсном пространстве и мы можем заменить суммирование по трансляционным квантовым состояниям $\mathbf {k}$ интегрированием по классическому фазовому пространству, предварительно разделив на $h^{3}$:

${\frac {g}{h^{3}}}\iint 4\pi p^{2}\,dr\,dp=V{\frac {g}{h^{3}}}\int 4\pi p^{2}\,dp,$

где $g$ — число внутренних квантовых состояний, которые соответствуют внутренней энергии. Число $g=2$, для электронов со спином 1/2. Интегрируя последнее выражение от $p=0$ до $p_{0}$, величины импульса самого высокого заполненного при $T=0$ состояния с энергией $\mu _{0}=(2m)^{-1}p_{0}^{2}$, и приравнивая результат к $N$, получаем с учётом того, что $\rho =N/V$:

$N=V{\frac {g}{h^{3}}}{\frac {4\pi }{3}}p_{0}^{3}=V{\frac {g}{h^{3}}}{\frac {4\pi }{3}}(2m\mu _{0})^{3/2},$

$p_{0}=\left({\frac {3\rho }{4\pi g}}\right)^{1/3}h,$

$\mu _{0}={\frac {p_{0}^{2}}{2m}}={\frac {h^{2}}{2m}}\left({\frac {3\rho }{4\pi g}}\right)^{2/3}$

или для электронов с $g=2$:

$\mu _{0}={\frac {h^{2}}{8m}}\left({\frac {3\rho }{\pi }}\right)^{2/3},\quad g=2.$

Величину $\mu _{0}$, наивысшую энергию заполненных уровней, называют энергией Ферми.

Газ Ферми — Дирака при конечной температуре

Для ненулевых значений параметра $\beta =1/kT$ плотность числа электронов $N(\varepsilon )$ в энергетическом пространстве находим путём умножения квантовых плотностей состояний

${\frac {3}{2}}N/\mu _{0}^{3/2}\int \varepsilon ^{1/2}\,d\varepsilon$

на множитель ${\frac {1}{1+\exp[(\beta (\varepsilon -\mu )]}}$, который даёт число электронов на одно квантовое состояние:

$N(\varepsilon )={\frac {3}{2}}N/\mu _{0}^{3/2}{\frac {1}{1+\exp[\beta (\varepsilon -\mu )]}},$

где величина $\mu _{0}$ — химический потенциал при $T=0$, а $\mu$ — химический потенциал при данной температуре.

Если проинтегрировать эту функцию по всем значениям $\varepsilon$, то можно определить $\mu$ как функцию от температуры.

Сравнивая результат, который входит в $\int \limits _{0}^{\infty }N(\varepsilon )\,d\varepsilon$ полного числа частиц $N$. Отсюда видно, что для $N(\varepsilon )$ величина $\mu$ есть функция параметров $\mu _{0}$ и $\beta$.

Энергию можно найти из соотношения:

$W=\int \limits _{0}^{\infty }\varepsilon N(\varepsilon )\,d\varepsilon ,$

откуда видно, что тут мы встречаемся с задачей нахождения интеграла типа:

$I=\int \limits _{0}^{\infty }f(\varepsilon )g(\varepsilon )\,d\varepsilon ,$

в котором функция $f(\varepsilon )$ есть некоторая простая и непрерывная функция от $\varepsilon$, например $\varepsilon ^{1/2}$ или $\varepsilon ^{3/2}$, и

$g(\varepsilon )={\frac {1}{1+\exp[\beta (\varepsilon -\mu )]}}.$

Следует отметить, что величина $\mu _{0}/k$ имеет порядок от $5\cdot 10^{4}$ до $10^{5}$ К для большинства металлов.

Пропуская довольно громоздкие математические выкладки, в результате получим приблизительное значение химического потенциала:

$\mu =\mu _{0}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}(\beta \mu _{0})^{-2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}(\beta \mu _{0})^{-4}+\ldots \right],$

которое выражает химический потенциал $\mu$ через параметры $\beta$ и $\mu _{0}$.

Тут следует отметить, что эта зависимость не очень сильная, например для комнатных температур первая добавка составляет достаточно малую величину — $(\beta \mu _{0})^{-2}\approx 10^{-4}$. Поэтому на практике, при комнатных температурах химический потенциал практически совпадает с потенциалом ферми.

См. также

• Энергия Ферми
• Идеальный газ
• Квантовый газ
• Бозе-газ

Литература

• Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. — 2-е изд. перераб. — М.: Мир, 1980. — 544 с.

Ссылки

• A Fermi gas of atoms — physicsworld.com Apr 4, 2002
• Seiringer R. The Thermodynamic Pressure of a Dilute Fermi Gas / Commun. Math. Phys. — 261. — 2006. — pp. 729–758.
• Fermi gas goes superfluid — physicsworld.com Jul 22, 2004