Квантовое состояние (физическое понятие)

В классической механике состояние частицы в каждый момент времени задаётся набором её координат и импульсов; и координата, и импульс одновременно имеют точные значения и могут принимать любые вещественные значения из непрерывного множества. Энергия гармонического маятника, скорость планеты, длина волны звука в струне — всё это в классике может изменяться сколь угодно плавно.

В квантовой механике ситуация принципиально иная:

1. Координата и импульс не могут одновременно иметь точных значений (соотношение неопределённостей Гейзенберга: Δx·Δp ≥ ℏ/2)^[4].
2. Состояние полностью описывается волновой функцией — решением уравнения Шрёдингера^[5].
3. Многие наблюдаемые (энергия связанной системы, проекция момента импульса, проекция спина и др.) принимают только дискретный ряд значений — у системы существует лишь конечный или счётный набор «разрешённых» квантовых состояний по этим величинам^[2].
4. Результат отдельного измерения, как правило, не предопределён; теория предсказывает лишь вероятности различных исходов — статистическую интерпретацию волновой функции в 1926 году предложил Макс Борн^[6].

Таким образом, представление о непрерывных траекториях в фазовом пространстве заменяется представлением о дискретном спектре стационарных решений уравнения Шрёдингера и о вероятностных переходах между ними.

В координатном представлении состояние одной нерелятивистской частицы массы m, движущейся в потенциальном поле U(r), описывается комплексной волновой функцией ψ(r, t). Её квадрат модуля |ψ(r, t)|² задаёт плотность вероятности обнаружить частицу в окрестности точки r в момент времени t^[6].

Эволюция волновой функции во времени определяется уравнением Шрёдингера:

${\displaystyle i\hbar \,{\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}={\hat {H}}\,\psi (\mathbf {r} ,t),}$

где Ĥ — гамильтониан (оператор полной энергии) системы. Для частицы в потенциальном поле U(r) гамильтониан представляет собой сумму оператора кинетической энергии и оператора потенциальной энергии:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\,\Delta +U(\mathbf {r} ),}$

где

${\displaystyle \Delta \;=\;\nabla ^{2}\;=\;{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$

— оператор Лапласа (лапласиан), сумма вторых частных производных по координатам. Подставляя это выражение для гамильтониана в уравнение Шрёдингера, получаем явный вид уравнения:

${\displaystyle i\hbar \,{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\;=\;-\,{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\,\Delta \psi \;+\;U(\mathbf {r} )\,\psi .}$

Первое слагаемое в правой части отвечает за квантовый аналог кинетической энергии (его «вес» обратно пропорционален массе частицы), второе — за её потенциальную энергию во внешнем поле^[3]. Именно такая форма уравнения служит основным рабочим инструментом для расчёта квантовых состояний атомов, молекул и других нерелятивистских систем.

Для систем многих частиц лапласиан заменяется суммой лапласианов по координатам всех частиц, а потенциальная энергия U включает и взаимодействие между ними.

Особую роль играют стационарные состояния — решения уравнения Шрёдингера с определённой энергией. Они являются собственными функциями (собственными векторами) гамильтониана:

${\displaystyle {\hat {H}}\,\psi _{n}(\mathbf {r} )\;=\;E_{n}\,\psi _{n}(\mathbf {r} ),\qquad {\text{или}}\qquad {\hat {H}}\,|\psi _{n}\rangle =E_{n}\,|\psi _{n}\rangle .}$

В развёрнутом виде это так называемое стационарное уравнение Шрёдингера:

${\displaystyle -\,{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\,\Delta \psi _{n}(\mathbf {r} )\;+\;U(\mathbf {r} )\,\psi _{n}(\mathbf {r} )\;=\;E_{n}\,\psi _{n}(\mathbf {r} ).}$

Каждое его решение ψ_n вместе с отвечающим ему числом E_n и задаёт одно квантовое состояние системы^[1]. В стационарном состоянии все вероятностные распределения наблюдаемых не зависят от времени, а полная волновая функция эволюционирует тривиально — приобретая лишь фазовый множитель:

${\displaystyle \psi _{n}(\mathbf {r} ,t)\;=\;\psi _{n}(\mathbf {r} )\,e^{-iE_{n}t/\hbar }.}$

Это означает, что квантовое состояние — это, по существу, стационарное решение уравнения Шрёдингера: каждому разрешённому состоянию системы отвечает своя собственная функция гамильтониана и своя собственная энергия. Набор всех допустимых значений {E_n} образует спектр уровней энергии системы^[2], а каждое состояние ψ_n полностью характеризуется набором квантовых чисел (главное, орбитальное, магнитное, спиновое и т. д.)^[7].

Именно стационарные состояния служат «строительными кирпичиками» при описании атомов, молекул, кристаллов и любых других связанных квантовых систем.

Различие между типами квантовых систем удобно демонстрировать сравнением двух канонических примеров — атома водорода и квантового гармонического осциллятора. У обеих систем спектр энергий дискретен, но устроен по-разному.

Решение стационарного уравнения Шрёдингера для электрона в кулоновском поле протона (U(r) = −e²/(4πε₀r)) даёт связанные стационарные состояния с энергиями

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {13{,}6\ {\text{эВ}}}{n^{2}}},\qquad n=1,2,3,\dots }$

Уровни располагаются неравномерно: расстояние между соседними уровнями быстро уменьшается с ростом n и стремится к нулю при подходе к границе ионизации^[8]. Каждое стационарное состояние характеризуется набором четырёх квантовых чисел (n, l, m, m_s), задающих, соответственно, энергию, орбитальный момент, его проекцию на ось и проекцию спина^[7].

При переходах между уровнями атом испускает или поглощает фотоны с энергиями

${\displaystyle \hbar \omega _{n\to n'}=E_{n}-E_{n'},}$

образующие линейчатый спектр (серии Лаймана, Бальмера, Пашена и т. д.)^[9][10]. Кванты энергии, передаваемые системе при разных переходах, имеют разные значения — введение единственного «фундаментального кванта энергии» для атома водорода невозможно.

Для частицы массы m в потенциале ${\displaystyle U(x)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}$ стационарное уравнение Шрёдингера даёт спектр

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right),\qquad n=0,1,2,\dots }$

Уровни строго равноотстоят друг от друга на величину ℏω^[11]. Минимальная энергия (нулевые колебания) равна ℏω/2 и не исчезает даже при T = 0; этот факт — прямое следствие принципа неопределённостей^[4].

При переходе n → n ± 1 система всегда обменивается с внешним полем порцией энергии ровно ℏω. Таким образом, для осциллятора квант энергии — единственная и хорошо определённая величина. Именно это свойство делает гармонический осциллятор универсальной моделью: бозонные поля (электромагнитное, фононное и др.) описываются как набор независимых осцилляторов, а их кванты возбуждения (фотон, фонон и т. д.) имеют строго определённую энергию ℏω^[6].

• Дискретность набора квантовых состояний — общее свойство связанных квантовых систем; в обоих примерах квантовые состояния суть стационарные решения уравнения Шрёдингера^[2].
• Эквидистантность уровней (одинаковые кванты энергии) — частное свойство, характерное для гармонического осциллятора и систем, к нему сводящихся.
• В большинстве реальных систем (атомы, молекулы, ядра) спектр устроен сложнее и кванты, передаваемые при разных переходах, различны^[8].

Понятие квантового состояния — рабочий язык всей современной микрофизики и квантовых технологий:

• Спектроскопия атомов, молекул, ядер опирается на расчёт уровней и переходов между квантовыми состояниями^[9].
• Лазеры и квантовые стандарты частоты работают на отдельных переходах между чётко определёнными квантовыми состояниями.
• Квантовая информация оперирует кубитами — двухуровневыми квантовыми системами.
• Квантовая криптография использует невозможность достоверно копировать неизвестное квантовое состояние (теорема о запрете клонирования)^[12].
• Топологические фазы вещества описываются глобальными свойствами множества квантовых состояний и приводят к таким явлениям, как квантовый эффект Холла^[13], открытый К. фон Клитцингом в 1980 году^[14].