Постоянная Апери

В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная ${\displaystyle \zeta (3)}$, даёт вероятность того, что любые три случайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимно просты — в том смысле, что при ${\displaystyle N\to \infty }$ вероятность того, что три положительных целых числа, меньших, чем ${\displaystyle {\textstyle {N}}}$ (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к ${\displaystyle 1/\zeta (3)}$.

Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитному моменту электрона в квантовой электродинамике. Например, результат для двухпетлевой диаграммы Фейнмана, изображённой на рисунке, даёт ${\displaystyle 6\zeta (3)}$ (здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутренних петель, содержащих только безмассовые виртуальные частицы, а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы ${\displaystyle k}$). Другой пример — двумерная модель Дебая.

Постоянная Апери связана с частным значением полигамма-функции второго порядка:

${\displaystyle \zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)}$

и появляется в разложении гамма-функции в ряд Тейлора:

${\displaystyle \Gamma (1+\varepsilon )=e^{-\gamma \varepsilon }\left[1+{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\varepsilon ^{2}-{\tfrac {1}{3}}\zeta (3)\varepsilon ^{3}+O(\varepsilon ^{4})\right]}$,

где в виде ${\displaystyle e^{-\gamma \varepsilon }}$ факторизуются вклады, содержащие постоянную Эйлера — Маскерони ${\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}$.

Постоянная Апери также связана со значениями трилогарифма ${\displaystyle \mathrm {Li} _{3}(z)}$ (частный случай полилогарифма ${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$):

${\displaystyle \mathrm {Li} _{3}(1)=\zeta (3)}$,

${\displaystyle \mathrm {Li} _{3}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)}$.

Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {4}{3}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{3}}}={\tfrac {4}{3}}\left(1-{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}-{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots \right)}$,

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}={\tfrac {8}{7}}\left(1+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots \right)}$.

Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармонические числа ${\displaystyle {\textstyle {H_{k}}}}$:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}}$,

а также двукратная сумма:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{jk(j+k)}}}$.

Для доказательства иррациональности ${\displaystyle \zeta (3)}$ Роже Апери^[3] пользовался представлением:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!)^{2}}{k^{3}(2k)!}}={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{3}{\binom {2k}{k}}}}}$,

где ${\displaystyle {\textstyle {\binom {2k}{k}}={\frac {(2k)!}{k!^{2}}}}}$ — биномиальный коэффициент.

В 1773 году Леонард Эйлер^[7] привёл представление в виде ряда^[8] (которое впоследствии было несколько раз заново открыто в других работах):

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{7}}\pi ^{2}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}$,

в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут быть представлены как ${\displaystyle {\textstyle {\zeta (2k)=(-1)^{k+1}(2\pi )^{2k}B_{2k}/(2(2k)!)}}}$, где ${\displaystyle {\textstyle {B_{2k}}}}$ — числа Бернулли.

Рамануджан дал несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Они включают в себя^[9]:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}}$

Саймон Плафф получил ряды другого типа^[10]

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\operatorname {sh} (\pi k)}}-{\tfrac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\tfrac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}\;,}$

а также аналогичные представления для других постоянных ${\displaystyle \zeta (2n+1)}$.

Были также получены другие представления в виде рядов, включая:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(56k^{2}-32k+5)(k-1)!^{3}}{(2k-1)^{2}(3k)!}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {8}{7}}-{\tfrac {8}{7}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}\,2^{-5+12\,k}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}-432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left(1+4\,k\right)!}^{3}}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(205k^{2}+250k+77)\cdot k!^{10}}{(2k+1)!^{5}}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {((2k+1)!(2k)!k!)^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^{3}}}}$

Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.

В 1998 году получено представление в виде ряда^[11], которое даёт возможность вычислить произвольный бит постоянной Апери.

Существует также большое количество различных интегральных представлений для постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {2}{3}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+1}}\,dx}$

или

${\displaystyle \zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln(x)\ln(1-x)}{x}}\,dx}$

следующих из простейших интегральных определений дзета-функции Римана^[12], до достаточно сложных, таких, как

${\displaystyle \zeta (3)=\pi \!\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\,\mathrm {arctg} \,x)}{\left(x^{2}+1\right){\big [}\mathrm {ch} {\big (}{\frac {1}{2}}\pi x{\big )}{\big ]}^{2}}}\,dx\qquad }$ (Иоган Йенсен^[13]),

${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\!\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy\qquad }$ (Фритс Бёкерс^[14]),

${\displaystyle \zeta (3)=\,{\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx\qquad }$ (Ярослав Благушин^[15]).

Цепная дробь для константы Апери (последовательность A013631 в OEIS) выглядит следующим образом:

${\displaystyle \zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7,11,1,1,1,\cdots ]=}$

${\displaystyle =1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}\;}$

Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac {2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Она может быть преобразована к виду:

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac {3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3}+3n^{2}+11n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {6}{5-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac {3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3}+51n^{2}+27n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$^[16][17]

Число известных значащих цифр постоянной Апери ${\displaystyle \zeta (3)}$ значительно выросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов^[18].

Число известных значащих цифр постоянной Апери ${\displaystyle \zeta (3)}$

Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
1735	16	Леонард Эйлер[5][6]
1887	32	Томас Иоаннес Стилтьес
1996	&&&&&&&&&0520000.&&&&&0520 000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997	&&&&&&&&01000000.&&&&&01 000 000	Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1997, май	&&&&&&&010536006.&&&&&010 536 006	Patrick Demichel
1998, февраль	&&&&&&&014000074.&&&&&014 000 074	Sebastian Wedeniwski
1998, март	&&&&&&&032000213.&&&&&032 000 213	Sebastian Wedeniwski
1998, июль	&&&&&&&064000091.&&&&&064 000 091	Sebastian Wedeniwski
1998, декабрь	&&&&&&0128000026.&&&&&0128 000 026	Sebastian Wedeniwski[19]
2001, сентябрь	&&&&&&0200001000.&&&&&0200 001 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2002, февраль	&&&&&&0600001000.&&&&&0600 001 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003, февраль	&&&&&01000000000.&&&&&01 000 000 000	Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2006, апрель	&&&&010000000000.&&&&&010 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[20]
2009, январь	&&&&015510000000.&&&&&015 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[21]
2009, март	&&&&031026000000.&&&&&031 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[21]
2010, сентябрь	&&&0100000001000.&&&&&0100 000 001 000	Alexander J. Yee[22]
2013, сентябрь	&&&0200000001000.&&&&&0200 000 001 000	Robert J. Setti[22]
2015, август	&&&0250000000000.&&&&&0250 000 000 000	Ron Watkins[22]
2015, декабрь	&&&0400000000000.&&&&&0400 000 000 000	Dipanjan Nag[22]
2017, август	&&&0500000000000.&&&&&0500 000 000 000	Ron Watkins[22]
2019, май	&&01000000000000.&&&&&01 000 000 000 000	Ian Cutress[22]
2020, июль	&&01200000000000.&&&&&01 200 000 000 000	Seungmin Kim[23]

Существует много исследований, посвящённых другим значениям дзета-функции Римана в нечётных точках ${\displaystyle \zeta (2n+1)}$ при ${\displaystyle n>1}$. В частности, в работах Вадима Зудилина и Тангая Ривоаля показано, что иррациональными является бесконечное множество чисел ${\displaystyle \zeta (2n+1)}$^[24], а также что по крайней мере одно из чисел ${\displaystyle \zeta (5)}$, ${\displaystyle \zeta (7)}$, ${\displaystyle \zeta (9)}$, или ${\displaystyle \zeta (11)}$ является иррациональным^[25].