Натуральное число

На множестве натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ определены следующие операции^[3]:

• Сложение и умножение всегда дают натуральное число (замкнуты). Кроме того, они обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности (см. ниже).
• Возведение в степень также замкнуто: для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$ число ${\displaystyle a^{b}}$ является натуральным. Однако, в отличие от сложения и умножения, возведение в степень не коммутативно и не ассоциативно: например, ${\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2}}$ и ${\displaystyle (2^{3})^{2}\neq 2^{(3^{2})}}$. Обратная операция — извлечение корня степени ${\displaystyle n}$ — на ${\displaystyle \mathbb {N} }$ определена лишь в тех случаях, когда подкоренное выражение является точной ${\displaystyle n}$-й степенью некоторого натурального числа.

Операции вычитания и деления на множестве натуральных чисел определены не для всех пар:

• Вычитание (${\displaystyle -}$) определено только при условии ${\displaystyle a>b}$ (поскольку ${\displaystyle 0}$ не является натуральным числом, разность ${\displaystyle a-b}$ должна быть положительной). Если ${\displaystyle a\leq b}$, разность не является натуральным числом.
• Деление нацело определено только тогда, когда ${\displaystyle a}$ кратно ${\displaystyle b}$, то есть существует такое ${\displaystyle c\in \mathbb {N} }$, что ${\displaystyle a=b\cdot c}$. В общем случае для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$ можно выполнить деление с остатком: существуют единственные ${\displaystyle q,r\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ (здесь ${\displaystyle r}$ может быть нулём), такие что ${\displaystyle a=bq+r}$ и ${\displaystyle 0\leq r<b}$. Если ${\displaystyle r=0}$, то говорят, что ${\displaystyle a}$ делится на ${\displaystyle b}$ нацело.

Для любых натуральных чисел ${\displaystyle a,b,c}$ справедливы:

• Коммутативность сложения: ${\displaystyle a+b=b+a}$.
• Коммутативность умножения: ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$.
• Ассоциативность сложения: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$.
• Ассоциативность умножения: ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.
• Дистрибутивность умножения относительно сложения: ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$.
• Монотонность: если ${\displaystyle a<b}$, то ${\displaystyle a+c<b+c}$ и ${\displaystyle a\cdot c<b\cdot c}$ для любого ${\displaystyle c\in \mathbb {N} }$.

Пусть ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$. Говорят, что ${\displaystyle a}$ делится на ${\displaystyle b}$ (или ${\displaystyle b}$ является делителем ${\displaystyle a}$), если существует ${\displaystyle c\in \mathbb {N} }$ такое, что ${\displaystyle a=b\cdot c}$. Обозначение: ${\displaystyle b\mid a}$. В этом случае также говорят, что ${\displaystyle a}$ является кратным ${\displaystyle b}$.

Простое число — это натуральное число, большее ${\displaystyle 1}$, которое имеет ровно два натуральных делителя: ${\displaystyle 1}$ и само себя. Составное число — натуральное число, большее ${\displaystyle 1}$, имеющее более двух делителей. Число ${\displaystyle 1}$ не является ни простым, ни составным.

Основная теорема арифметики утверждает, что любое натуральное число, большее ${\displaystyle 1}$, может быть единственным образом (с точностью до порядка множителей) разложено в произведение простых чисел. Каноническое разложение имеет вид: ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$, где ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}$ — различные простые числа, а ${\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {N} }$.

Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел — это наибольшее натуральное число, на которое делятся оба данных числа. Наименьшее общее кратное (НОК) — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел. Для двух чисел справедливо соотношение: ${\displaystyle {\text{НОД}}(a,b)\cdot {\text{НОК}}(a,b)=a\cdot b}$. (Для трёх и более чисел это равенство не обобщается напрямую.)

Строгое определение множества натуральных чисел даётся с помощью аксиом Пеано (1889 г.):

1. ${\displaystyle 1\in \mathbb {N} }$ (единица является натуральным числом).
2. Для каждого ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ определено число, следующее за ${\displaystyle x}$, обозначаемое ${\displaystyle S(x)}$ (или ${\displaystyle x+1}$), причём ${\displaystyle S(x)\in \mathbb {N} }$.
3. ${\displaystyle 1\neq S(x)}$ для любого ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ (единица не следует ни за каким натуральным числом).
4. Если ${\displaystyle S(x)=S(y)}$, то ${\displaystyle x=y}$ (инъективность функции следования).
5. Аксиома индукции: если некоторое утверждение ${\displaystyle P(n)}$ верно для ${\displaystyle n=1}$ и из предположения, что оно верно для ${\displaystyle n}$, следует его истинность для ${\displaystyle S(n)}$, то ${\displaystyle P(n)}$ верно для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Множество натуральных чисел бесконечно: для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ существует ${\displaystyle n+1\in \mathbb {N} }$, которое больше ${\displaystyle n}$; следовательно, натуральный ряд не имеет наибольшего элемента. Мощность множества натуральных чисел обозначается ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (алеф-нуль) и является наименьшей бесконечной мощностью; это свойство используется в теории счётных множеств.

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ: Натуральные числа Данный раздел содержит перечень ключевых умений, которые необходимы для успешного решения заданий на экзаменах^[4][5], которые формируются в рамках школьной программы^[6][7]. Дополнительные материалы для подготовки доступны в навигаторах ФИПИ^[8][9]. Более подробно каждый из перечисленных навыков с примерами и разбором типовых заданий рассмотрен в указанных источниках.

• Применять признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11.
• Раскладывать число на простые множители (каноническое разложение) — Основная теорема арифметики.
• Находить НОД и НОК двух чисел (через разложение или алгоритм Евклида).
• Определять чётность/нечётность числа и использовать это в уравнениях.
• Записывать деление с остатком в виде ${\displaystyle a=b\cdot q+r}$.
• Решать простейшие диофантовы уравнения (выразить одну переменную, наложить ограничения).
• Доказывать, что число составное (разложить на множители).
• Доказывать, что число простое (проверить делители до ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$).
• Решать задачи вида «оценка + пример»: найти максимум/минимум и подтвердить примером.
• Решать задачи на нахождение числа по системе остатков (подбор + НОК).

Понятие натурального числа возникло из практической потребности считать предметы. В древности для этого использовали зарубки, узелки, камешки — но такие способы не позволяли компактно записывать большие количества. От латинского calculus («камешек») происходят современные слова «калькулятор» и «калькулировать».

Первой крупной революцией стало изобретение позиционных систем счисления: в Вавилоне — шестидесятеричной (следы которой сохранились в делении часа на 60 минут и круга на 360°), в Индии — десятичной, которая через арабских математиков пришла в Европу и стала общепринятой. Именно эта система, с цифрами и разрядами, лежит в основе всех современных вычислений.

Древнегреческие математики начали изучать числа как самостоятельные объекты. Пифагорейская школа исследовала чётность, делимость и особые классы чисел (совершенные, фигурные); строгие определения простого и составного числа в привычном сегодня виде появляются позже — в «Началах» Евклида. Сам Евклид в III в. до н. э. доказал, что:

• простых чисел бесконечно много (доказательство от противного, ставшее одним из самых известных в истории математики);
• если простое число делит произведение двух чисел, оно делит хотя бы одно из них (лемма Евклида, «Начала», книга VII, предложение 30) — из этого утверждения почти напрямую следует единственность разложения числа на простые множители.

Явную формулировку и полное доказательство этой единственности — того, что сегодня называют основной теоремой арифметики дал только Карл Фридрих Гаусс спустя две тысячи лет после Евклида (см. раздел ниже).

В XVII—XIX веках Ферма, Эйлер и Гаусс заложили основы теории чисел как самостоятельной науки:

• Ферма сформулировал свойства простых чисел и взаимосвязи между делимостью и остатками (малая теорема Ферма).
• Эйлер ввёл функцию ${\displaystyle \varphi (n)}$, которая определяет количество чисел, взаимно простых с ${\displaystyle n}$, — она используется в задачах на сравнения и свойства остатков. Сегодня она используется в задачах на сравнения и свойства остатков, а также лежит в основе алгоритма шифрования RSA, защищающего банковские платежи и переписку в мессенджерах.
• Гаусс в работе «Арифметические исследования» (1801) не только впервые строго доказал основную теорему арифметики, но и создал теорию сравнений по модулю — это позволило записывать условия делимости в компактном виде и решать уравнения в целых числах.

До XIX века натуральные числа использовались интуитивно. Возникла потребность в строгом определении — чтобы избежать логических противоречий. В 1889 году Джузеппе Пеано предложил систему аксиом, которая описывает натуральный ряд через:

• наличие первого элемента (1);
• операцию перехода к следующему числу;
• аксиому индукции — принцип математической индукции.

Расхождение восходит к разным историческим традициям формализации числа: понятие натурального числа сложилось из практики счёта задолго до того, как ноль получил статус самостоятельного числа в математике, — поэтому в традициях, где счёт исторически начинается с единицы, ноль в натуральный ряд не включают. Формальное определение ISO 80000-2^[2], напротив, строится не от практики счёта, а от алгебраической структуры множества и включает ноль как аддитивную единицу.