Обратное число

Обра́тное число́ (обратное значе́ние, обратная величина́) к данному числу $x$ — это число, умножение которого на $x$ даёт единицу. Принятая запись: ${\frac {1}{x}}$ или $x^{-1}$ . Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными^[1].

Иначе говоря, число $y$ обратно числу $x$ , если

x\cdot y=1.

Из этого равенства сразу видно, что отношение взаимной обратности симметрично: если $y$ обратно $x$ , то и $x$ обратно $y$ .

Примеры.

Единственные вещественные числа, совпадающие со своими обратными:

+1

и

-1

.

Обратное для числа 2 равно

{\frac {1}{2}}

.

Обратное для числа

{\frac {11}{35}}

равно

{\frac {35}{11}}

.

Обратное для числа

\pi =3{,}1415926535\dots

равно

0{,}3183098861\dots

Обратное число не следует путать с противоположным (которое в сумме с исходным даёт нуль) или с обратной функцией.

Понятие обратного элемента можно определить не только для чисел, но и для других математических объектов.

Обратные величины использовались задолго до появления общего понятия числа: они возникли из потребности выполнять деление.

В вавилонской математике (около 1800 года до н. э.), пользовавшейся шестидесятеричной системой счисления, деление как самостоятельная операция отсутствовало — вместо термина «делить» говорили «умножить на обратное». Вычисление $m:n$ выполнялось по правилу: «возьми обратное к $n$ , умножь $m$ на него». Поэтому важнейшую роль в вавилонских вычислениях играли обширные таблицы обратных величин (igi), содержавшие обратные к числам, разложимым на множители 2, 3 и 5; для остальных чисел (например, 7 или 11) обратные величины в шестидесятеричной записи бесконечны, и применялись приближения^[2].

В Древнем Египте сложилась иная традиция: там употреблялись почти исключительно аликвотные дроби, то есть числа вида $1/n$ — обратные к натуральным. Дробь с числителем, отличным от единицы, записывалась суммой различных аликвотных дробей. Папирус Ахмеса (около 1650 года до н. э.) открывается таблицей таких разложений для всех дробей вида $2/n$ при нечётных $n$ от 5 до 101; например, $2/5=1/3+1/15$ ^[3].

В древнегреческой математике отношение величин не считалось числом, и обратная величина выступала как «обращённое отношение»: если $a$ относится к $b$ , то $b$ относится к $a$ . Учение о пропорциях, изложенное в V книге «Начал» Евклида, оперировало такими обращениями, не пользуясь понятием дроби^[4].

Современная символика складывалась постепенно. Дробную черту в привычном виде ввели в европейскую математику арабские математики, а через сочинение Леонардо Пизанского «Книга абака» (1202) она распространилась в Европе. Запись обратной величины в виде степени с показателем $-1$ появилась значительно позже: отрицательные показатели предложил Никола Шюке (1484), а современное обозначение $x^{-1}$ ввёл Исаак Ньютон в письме к Генри Ольденбургу в 1676 году^[5].

Термин «обратное число» закрепился в русской математической литературе в XIX веке; в старых руководствах встречалось также выражение «обращённое число».

Аксиоматическое определение

Множества действительных и комплексных чисел образуют поле — алгебраическую структуру, в системе аксиом которой существование обратного элемента постулируется явно. Одна из аксиом умножения гласит^[6]:

для каждого элемента $a\neq 0$ существует элемент $a^{-1}$ , такой что $a\cdot a^{-1}=1$ .

Таким образом, обратное число — не результат отдельного построения, а элемент, чьё существование заложено в определении числового поля. Оговорка $a\neq 0$ входит в саму аксиому: нуль исключается из неё не по соглашению, а потому, что при его включении система аксиом стала бы противоречивой.

Из аксиом поля следует, что обратный элемент единственнен^[7].

Запись

Обратное число записывают в виде дроби или степени с показателем $-1$ ; как правило, используется запись через дробь:

{\frac {1}{n}}=n^{-1}.

Доказательство единственности

Пусть $y_{1}$ и $y_{2}$ — два числа, обратных к $x\neq 0$ , то есть $xy_{1}=1$ и $xy_{2}=1$ . Тогда

y_{1}=y_{1}\cdot 1=y_{1}(xy_{2})=(y_{1}x)y_{2}=1\cdot y_{2}=y_{2},

где использованы ассоциативность умножения и свойство единицы. Значит, обратное число единственно.

Число	3	${\frac {1}{10}}$	$-{\frac {2}{7}}$	$2\pi$	2	$-0{,}125$	1	${\sqrt {3}}$	$e^{\pi /4}$	$10^{23}$
Обратное	${\frac {1}{3}}$	10	$-{\frac {7}{2}}$	${\frac {1}{2\pi }}$	$0{,}5$	$-8$	1	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$e^{-\pi /4}$	$10^{-23}$

Свойства

Для любых отличных от нуля $a$ и $b$ справедливо^[8]:

$\left(a^{-1}\right)^{-1}=a$ — обратное к обратному даёт исходное число;
$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ — обратное к произведению равно произведению обратных;
$\left({\dfrac {a}{b}}\right)^{-1}={\dfrac {b}{a}}$ — при обращении дроби числитель и знаменатель меняются местами;
$a^{-1}$ имеет тот же знак, что и $a$ ;
если $0<a<1$ , то $a^{-1}>1$ , и наоборот: обращение меняет местами промежутки $(0;1)$ и $(1;+\infty )$ ;
деление на число равносильно умножению на обратное к нему: $b:a=b\cdot a^{-1}$ .

Последнее свойство объясняет роль обратных чисел в арифметике: имея таблицу обратных величин, деление можно свести к умножению — именно так и поступали в древности.

Геометрический смысл

Пары взаимно обратных положительных чисел — это в точности пары сторон прямоугольников единичной площади. График функции $y=1/x$ представляет собой гиперболу; точки $(a;\,1/a)$ и $(1/a;\,a)$ симметричны относительно прямой $y=x$ , а неподвижными точками отображения $x\mapsto 1/x$ служат $1$ и $-1$ .

Обратное для нуля

Нуль не имеет обратного числа, и это не соглашение, а следствие аксиом поля. Из дистрибутивности вытекает, что $0\cdot y=(0+0)\cdot y=0\cdot y+0\cdot y$ , откуда $0\cdot y=0$ для любого $y$ . Поэтому равенство $0\cdot y=1$ невозможно: оно означало бы $0=1$ , что противоречит аксиоме $0\neq 1$ . Соответственно, деление на нуль не определено.

Попытка «доопределить» $1/0$ разрушает структуру поля: если бы символ $\infty$ был числом с $0\cdot \infty =1$ , то из $0\cdot \infty =0$ (доказано выше) следовало бы $0=1$ ^[9].

Предельный переход

Отдельный вопрос — поведение функции $y=1/x$ вблизи нуля. Здесь важно различать число (элемент множества $\mathbb {R}$ ) и бесконечно большую функцию — функцию, которая при $x\to a$ превосходит по модулю любое наперёд заданное число. Символы $+\infty$ и $-\infty$ обозначают не числа, а характер поведения функции.

Односторонние пределы функции $1/x$ различны:

\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=+\infty ,\qquad \lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=-\infty ,

поэтому двустороннего предела не существует. Запись $\lim 1/x=+\infty$ означает лишь, что функция неограниченно возрастает, но не указывает никакого числового значения — и тем более не задаёт «обратного к нулю».

Распространено представление, будто бесконечно малая и бесконечно большая величины взаимно обратны. Это неверно. Если $\alpha (x)$ — бесконечно малая, а $\beta (x)$ — бесконечно большая при $x\to a$ , то предел их произведения может быть каким угодно, то есть $0\cdot \infty$ есть неопределённость:

$\alpha (x)$	$\beta (x)$	$\lim _{x\to +0}\alpha \beta$
$x$	$1/x$	$1$
$x$	$3/x$	$3$
$x^{2}$	$1/x$	$0$
$x$	$1/x^{2}$	$+\infty$

Верным является лишь более слабое утверждение: если $\alpha (x)$ — бесконечно малая и не обращается в нуль, то $1/\alpha (x)$ — бесконечно большая, и наоборот. Это связь между функциями, а не равенство произведения единицеФихтенгольц Г. М. Т. 1 // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматлит, 2001. — С. 56—57. — ISBN 5-9221-0156-0..

Расширения числовой прямой

Символ $\infty$ можно присоединить к числовой прямой формально. В расширенной числовой прямой ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ добавляют два символа, в проективной прямой — одну бесконечно удалённую точку, и во втором случае условно полагают $1/0=\infty$ , $1/\infty =0$ .

Однако получающаяся структура полем не является: выражения $0\cdot \infty$ , $\infty -\infty$ и $\infty /\infty$ остаются неопределёнными, так что $\infty$ не становится числом и не является обратным к нулю в том смысле, в каком $1/2$ обратно к $2$ . Такие расширения используются как удобное соглашение в теории меры и комплексном анализе (сфера Римана), где важна не полевая структура, а компактность.

Наглядный пример несопоставимости бесконечностей: обе функции $1/x$ и $1/x^{2}$ бесконечно большие при $x\to +0$ , но

\lim _{x\to +0}{\frac {1/x}{1/x^{2}}}=\lim _{x\to +0}x=0,

а не $1$ , как было бы для отношения равных величин.

Для комплексного числа $z\neq 0$ обратное записывают в той же форме, что и само число.

Форма	Число $z$	Обратное $1/z$
алгебраическая	$x+iy$	${\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i\,{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}$
тригонометрическая	$r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$	${\dfrac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi )$
показательная	$re^{i\varphi }$	${\dfrac {1}{r}}e^{-i\varphi }$

Здесь $x=\operatorname {Re} z$ , $y=\operatorname {Im} z$ , $r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ — модуль, $\varphi =\arg z$ — аргумент числа, $i$ — мнимая единица.

Геометрически обращение комплексного числа означает, что его модуль заменяется на обратный, а аргумент меняет знак:

\left|{\frac {1}{z}}\right|={\frac {1}{|z|}},\qquad \arg {\frac {1}{z}}=-\arg z.

Это преобразование есть композиция инверсии относительно единичной окружности и симметрии относительно вещественной оси. В частности, точки единичной окружности переходят в себя же (с отражением), внутренность круга — во внешность, и наоборот. Через сопряжённое число обратное выражается компактной формулой

{\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.

Вывод формул

Для алгебраической и тригонометрической форм используем основное свойство дроби, умножая числитель и знаменатель на сопряжённое число.

Алгебраическая форма:

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{x+iy}}={\frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)}}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}.

Тригонометрическая форма:

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}}={\frac {1}{r}}\cdot {\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi }}={\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi ).

Показательная форма:

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{re^{i\varphi }}}={\frac {1}{r}}e^{-i\varphi }.

Как видно, в показательной форме обращение выполняется проще всего.

Пример. Для $z=1+i{\sqrt {3}}=2e^{i\pi /3}$ обратное равно

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{2}}e^{-i\pi /3}={\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}\,i.

Обратное к мнимой единице

Для мнимой единицы обратное число совпадает с противоположным:

{\frac {1}{i}}={\frac {1\cdot i}{i\cdot i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i,\qquad

аналогично

\qquad {\frac {1}{-i}}=i.

Числа $\pm i$ — единственные, для которых обратное и противоположное совпадают: условие $1/z=-z$ равносильно $z^{2}=-1$ , а это уравнение имеет ровно два корняЛаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — С. 10—15..

Понятие обратного элемента определяется для любой бинарной операции на множестве $M$ , если для этой операции существует нейтральный элемент $e$ : элемент $b$ называется обратным к $a$ , если $ab=ba=e$ . Если операция не ассоциативна, приходится различать левый и правый обратные элементы^[10].

Элементы кольца с единицей, имеющие обратный, называются обратимыми элементами (или единицами кольца; встречается также название делители единицы). Множество всех обратимых элементов кольца с единицей образует группу по умножению — группу обратимых элементов; она непуста, так как содержит единицу кольца.

Примеры:

Кольцо целых чисел $\mathbb {Z}$ : обратимы только $1$ и $-1$ , поскольку $1/n$ при $|n|>1$ не является целым.
Кольцо квадратных матриц порядка $n$ : матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля. Здесь, в отличие от числовых полей, ненулевой элемент может не иметь обратного: например, матрица ${\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}}$ имеет нулевой определитель и необратима.
Кольцо вычетов $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ : класс $a$ обратим тогда и только тогда, когда $a$ и $n$ взаимно просты. Число обратимых классов равно $\varphi (n)$ (функция Эйлера); при простом $n$ обратимы все ненулевые классы, и кольцо становится полем. Обратный элемент находят расширенным алгоритмом Евклида: например, $3^{-1}=7$ в $\mathbb {Z} /10\mathbb {Z}$ , так как $3\cdot 7=21\equiv 1{\pmod {10}}$ .
Кватернионы: для $q\neq 0$ обратный элемент равен $q^{-1}={\bar {q}}/|q|^{2}$ , как и для комплексных чисел, но умножение здесь некоммутативно.

Кольцо, в котором обратим каждый ненулевой элемент, называется телом, а в коммутативном случае — полем.

Обратные величины появляются всюду, где складываются не сами величины, а «скорости» или «доли».

Среднее гармоническое. Величина $\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}\right)^{-1}$ — среднее обратных величин. Так вычисляется средняя скорость на маршруте с равными участками: при движении туда со скоростью 60 км/ч и обратно со скоростью 40 км/ч средняя скорость равна не 50, а $2/(1/60+1/40)=48$ км/ч.
Электрическое сопротивление. При параллельном соединении складываются обратные величины: $1/R=1/R_{1}+\ldots +1/R_{n}$ . Для сопротивлений 2, 3 и 6 Ом получаем $1/R=1/2+1/3+1/6=1$ , то есть $R=1$ Ом.
Оптика. Формула тонкой линзы $1/f=1/d+1/d'$ связывает фокусное расстояние с расстояниями до предмета и изображения; оптическая сила линзы есть величина, обратная фокусному расстоянию, и измеряется в диоптриях.
Совместная работа. Если один рабочий выполняет задание за $a$ часов, другой — за $b$ , то вместе они затратят $(1/a+1/b)^{-1}$ часов.
Обратно пропорциональные величины связаны соотношением $y=k/x$ ; их графиком служит гипербола.
Цепные дроби. Разложение числа в цепную дробь на каждом шаге использует обратную величину дробной части: $x=a_{0}+1/(a_{1}+1/(a_{2}+\dots ))$ .
Вычислительная техника. Деление — самая медленная из арифметических операций, поэтому процессоры и численные алгоритмы часто вычисляют обратную величину методом Ньютона (итерация $y_{k+1}=y_{k}(2-xy_{k})$ использует только умножение и вычитание), а затем умножают на неё.

↑ Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С. и др. Математика : 6-й класс : базовый уровень : учебник : в 2 частях. Ч. 1. — 4-е изд., стер.. — М.: Просвещение, 2024. — С. 9, 99. — ISBN 978-5-09-110647-3.
↑ Вайман А. А. Шумеро-вавилонская математика. III—I тысячелетия до н. э.. — М.: Издательство восточной литературы, 1961. — С. 35—58.
↑ Ван дер Варден, Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции, 1959, с. 35.
↑ Юшкевич, История математики, Том 1, 1970, с. 70—72.
↑ Ньютон, И. Математические работы / пер. и комментарии Д. Мордухай-Болтовского. — М.-Л.: ОНТИ, 1937.
↑ Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Новое изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2011. — С. 20. — ISBN 978-5-94057-685-3.
↑ Кострикин, 2004, с. 112.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 247—251. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0481-0.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 247—251. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0481-0.
↑ Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Физматлит, 1977. — С. 47—48.

Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматгиз, 1959. — 459 с.
Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 2-е изд., стер.. — М.: МЦНМО, 2013. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-0209-8.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 280 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0481-0.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Физматлит, 1977. — 496 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 1. — 680 с. — ISBN 5-9221-0156-0.
Юшкевич А. П. (ред.). История математики. — М.: Наука, 1970. — Т. 1: С древнейших времён до начала Нового времени. — 352 с.

[1] Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С. и др. Математика : 6-й класс : базовый уровень : учебник : в 2 частях. Ч. 1. — 4-е изд., стер.. — М.: Просвещение, 2024. — С. 9, 99. — ISBN 978-5-09-110647-3.

[2] Вайман А. А. Шумеро-вавилонская математика. III—I тысячелетия до н. э.. — М.: Издательство восточной литературы, 1961. — С. 35—58.

[_858728446fadce4e-3] Ван дер Варден, Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции, 1959, с. 35.

[_a28e3f92b679ef66-4] Юшкевич, История математики, Том 1, 1970, с. 70—72.

[5] Ньютон, И. Математические работы / пер. и комментарии Д. Мордухай-Болтовского. — М.-Л.: ОНТИ, 1937.

[6] Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Новое изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2011. — С. 20. — ISBN 978-5-94057-685-3.

[KOS112-7] Кострикин, 2004, с. 112.

[8] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 247—251. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0481-0.

[9] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 247—251. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0481-0.

[10] Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Физматлит, 1977. — С. 47—48.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Обратное число

История

Обратное к действительному числу

Аксиоматическое определение

Запись

Свойства

Геометрический смысл

Обратное для нуля

Предельный переход

Расширения числовой прямой

Обратное к комплексному числу

Обратное к мнимой единице

Вариации и обобщения

Применения

Примечания

Литература

Категории