Уравнения, неравенства и системы с параметрами

Узнать больше

Узнать больше в энциклопедической статье

Перейти

Узнать больше

Узнать больше в энциклопедической статье

Перейти

Экспертиза РАН

Проводится экспертиза
Российской академией наук

Подробнее

Экспертиза РАН

Проводится экспертиза
Российской академией наук

Подробнее

Материал ОГЭ/ЕГЭ

База знаний для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ, проверенная Российской Академией наук

Подробнее

Материал ОГЭ/ЕГЭ

База знаний для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ, проверенная Российской Академией наук

Подробнее

Уравне́ния, нера́венства и систе́мы с пара́метрами — это математические выражения, содержащие переменные и параметры, от значений которых зависит их форма и решение. Они играют важную роль для успешной сдачи государственного экзамена по математике профильного уровня.

Основные понятия

• Параметры — буквы, заменяющие в уравнении или неравенстве конкретные числовые данные. Параметры обычно обозначают первыми $(a,b,c)$, буквами латинского алфавита, что позволяет отличать их от переменных, обозначенных последними буквами $(x,y,z)$ .
• Уравнения, неравенства, системы с параметрами — выражения, в которых зависимость переменных выражается через дополнительную величину (параметр).

Решение уравнений с параметрами

Решение уравнения с параметром предполагает нахождение всех значений переменной и параметров, при которых уравнение верно.

Пример 1

• При каком значении $a$ квадратное уравнение $x^{2}+3x-a=0$ имеет единственный корень?

Решение: Квадратное уравнение имеет один корень, когда дискриминант равен нулю:

$D=b^{2}-4ac=9+4a=0$.

Отсюда находим:

$9+4a=0\quad \Rightarrow \quad a=-{\dfrac {9}{4}}$.

Ответ: $a=-{\dfrac {9}{4}}$.

Решение систем уравнений с параметрами

Для систем с параметрами часто используют анализ графических изображений уравнений.

Пример 2

• При каких значениях $a$ система:

${\begin{cases}(x-a)^{2}+(y-1)^{2}=9,\\(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4\end{cases}}$

имеет ровно два решения?

Решение: В систему входят два уравнения окружностей с центрами в точках $(a;\,1)$ и $(2;\,1)$ и радиусами $3$ и $2$ соответственно.

Для того чтобы окружности пересекались в двух точках, расстояние между их центрами должно удовлетворять условию:

$R_{1}-R_{2}<|a-2|<R_{1}+R_{2}\quad \Rightarrow \quad 1<|a-2|<5$.

Отсюда получаем:

$a\in (2-5;\,2-1)\cup (2+1;\,2+5)\quad \Rightarrow \quad a\in (-3;\,1)\cup (3;\,7)$.

Ответ: $a\in (-3;\,1)\cup (3;\,7)$.

Решение неравенств с параметрами

При решении неравенств с параметрами необходимо учитывать различные значения параметра и анализировать каждый случай отдельно. Для любых допустимых значений параметров указывают, какими будут его решения.

Пример 3

• Решить неравенство $ax^{2}-2x+1<0$.

Решение. В этом неравенстве один параметр $a$, который может принимать любые значения. Рассмотрим три случая:

1. Если $a=0$, получаем линейное неравенство $-2x+1<0$, решение которого: $x>0,5$.

2. Если $a\neq 0$ — неравенство квадратное.

Его дискриминант $D=1-a$ : положителен при $a<1$, равен нулю при $a=1$ и отрицателен при $a>1$.

При решении квадратных неравенств важен знак старшего коэффициента квадратного трёхчлена. Поэтому случай

$a<1$ нужно разбить на $a<0$ и $0<a<1$.

• Если $a<0$, то решениями неравенства являются все числа, меньшие меньшего, и все числа, большие большего корня

квадратного трёхчлена $ax^{2}-2x+1$: $x<{\frac {1+{\sqrt {1-a}}}{a}}$ или $x<{\frac {1-{\sqrt {1-a}}}{a}}$.

• Если $0<a<1$, то решения неравенства расположены между корнями ${\frac {1-{\sqrt {1-a}}}{a}}<x<{\frac {1+{\sqrt {1-a}}}{a}}$.

3. Если $a=1$ — неравенство не имеет решений.

4. Если $a>1$ — неравенство не имеет решений.

В ответе указываются все рассмотренные случаи.

Ответ:

• если $a=0$, то $x>0,5$;

• если $a<0$, то $x<{\frac {1+{\sqrt {1-a}}}{a}}$ или $x<{\frac {1-{\sqrt {1-a}}}{a}}$;
• если $0<a<1$, то ${\frac {1-{\sqrt {1-a}}}{a}}<x<{\frac {1+{\sqrt {1-a}}}{a}}$;
• если $a\geqslant 1$, то нет решений.

Заключение

Для успешной сдачи государственного экзамена по математике по программе углублённого уровня необходимо показать умение решать уравнения, неравенства и системы с помощью различных приёмов; решать уравнения, неравенства и системы с параметром. Решение уравнений, неравенств с параметрами относятся к заданиям второй части повышенного уровня сложности, требующих развёрнутого ответа. При выполнении таких заданий в бланке ответов должны быть записаны полное обоснованное решение и ответ для каждой задачи. Задания второй части экзаменационной работы проверяют знания на том уровне требований, который традиционно предъявляется вузами с профильным экзаменом по математике в целях эффективного отбора выпускников для продолжения образования в высших учебных заведениях с различными требованиями к уровню математической подготовки абитуриентов.

Примечания

Литература

• Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин. Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» (рус.). — 2012.
• А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков. Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Углублённый уровень» (рус.). — 2019.
• Учебник «ЕГЭ-2024. Математика. Базовый уровень. 30 типовых экзаменационных вариантов» (рус.) / И. В. Ященко. — 2024.
• Д. А. Мальцев, А. А. Мальцев, Л. И. Мальцева. Учебник «МАТЕМАТИКА Подготовка к ЕГЭ 2025 Базовый уровень» (рус.). — 2024.