Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем

Решить неравенство и уравнение можно аналитическим способом, а можно с помощью графиков. Рассмотрим решение неравенств с двумя переменными графическим способом.

Алгоритм решения неравенств с помощью построений функций на координатной плоскости

1. Полученные неравенства желательно привести к виду:

${\displaystyle {\begin{cases}y>ax+b\\y>cx+d\\\end{cases}}}$

2. Равносильное неравенство необходимо записать в виде равенства. Для этого знак неравенства необходимо заменить на равно.

${\displaystyle {\begin{cases}y=ax+b\\y=cx+d\\\end{cases}}}$

3. Необходимо определить полученную функцию для использования её конкретных свойств.

4. Необходимо изобразить полученную функцию на графике. Если первоначальное неравенство было строгим, то график следует изображать пунктирной линией, если неравенство нестрогое — сплошной линией.

5. Следует определить количество областей координатной плоскости, полученных в результате разбиения её графиком функции.

6. Из каждой области нужно выбрать точку и подставить её координаты в первоначальное неравенство.

7. Осталось выбрать те области, которые подходят по условию неравенства.

Пример

Изобразим на координатной плоскости множество решений нера­венства

${\displaystyle (y-x^{2})(y-x-3)<0}$ .

Сначала построим график уравнения

${\displaystyle (y-x^{2})(y-x-3)=0}$ .

Им яв­ляется парабола ${\displaystyle y=x^{2}}$ и прямая ${\displaystyle y=x+3}$.

Построим эти линии и отметим, что изменение знака выражения ${\displaystyle (y-x^{2})(y-x-3)}$ проис­ходит только на этих линиях.

Для точки ${\displaystyle A(0;5)}$ определим знак это­го выражения: ${\displaystyle (5-3)>0}$ (то есть данное неравенство не выполняется).

Отметим множество точек, для кото­рых данное неравенство выполнено (эти области заштрихованы).