Системы неравенств с одной переменной

Систе́мы нера́венств — это несколько неравенств, объединенных системой, которые имеют одинаковые решения для некоторой переменной.

Решить систему неравенств — это значит найти такое решение или совокупность решений, которые будут удовлетворять всем неравенствам системы.

Линейные неравенства могут быть строгими — это определяется знаком неравенства: <, >. Линейные неравенство нестрогие, если в них имеется следующий знак неравенства: ≥, ≤.

Если мы рассматриваем линейное уравнение, мы знаем, что на плоскости мы имеем право начертить прямую. Решением такого уравнения будет точка пересечения прямой с осью ОХ.

Если мы рассматриваем систему неравенств, которая имеет только одну переменную, то для нахождения их решений достаточно воспользоваться одной осью, например ОХ. Решением будет совместное решение обоих неравенств.

Пример 1. Из системы ${\displaystyle {\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases}}}$ получаем два решения: для первого неравенства ${\displaystyle x<2,}$ для второго: ${\displaystyle x>{2 \over 3}.}$ Соединяя их, получаем ответ: ${\displaystyle {2 \over 3}<x<2.}$

Пример 2. ${\displaystyle {\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}}$ Решения: ${\displaystyle x<2}$ и ${\displaystyle x<{2 \over 3}.}$ Второе решение поглощает первое, так что ответ: ${\displaystyle x<{2 \over 3}.}$

Пример 3. ${\displaystyle {\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}}$ Решения: ${\displaystyle x>2}$ и ${\displaystyle x<{2 \over 3},}$ они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.