Модальная логика

Формальную логику можно упростить до цепочки истинное знание→процесс→выводы.

Откуда брать истинное знание для формальных логик если только единичные истинные знания универсальны?..

Логика должна отвечать на реальные жизненные ситуации, а универсальных истин немного.

Модальная логика в широком смысле оперирует:

• знаниями
• предположениями (то, что не знаем)
• вопросами (частично в логике знаний)
• задачами (что сделать, чтобы получить знание)

То есть является более реальным/практичным расширением логики высказываний и логики первого порядка.

Например, модальная логика способна оперировать утверждениями типа «Москва всегда была столицей России» или «Санкт-Петербург, когда-то в прошлом, был столицей России», которые невозможно или крайне сложно выразить в немодальном языке. Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие, например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика доказуемости).

Обычно для обозначения модального оператора используется ${\displaystyle \Box }$ и двойственный к нему ${\displaystyle \diamondsuit }$:

${\displaystyle \diamondsuit A=\neg \Box \neg A.}$

Это отражает то, что сказать «Москва когда-то была столицей России» то же самое, что сказать «не верно, что Москва никогда не была столицей России».

Модальности бывают разных типов. Модальность — это оценка, квалификация, которая фиксирует характер утверждения. Высказывания, фиксирующие только сам факт наличия или отсутствия какой-то ситуации называются ассерторическими. Высказывания, которые характеризуют кроме этого характер такого утверждения — то есть содержат модальности — называются модальными. Модальности располагают в ряд по силе^[7]: самая сильная модальность — необходимо; более слабая модальность — это отсутствие модальности, то есть модальность ассерторического высказывания; самая слабая модальность — модальность возможности. Модальность «Невозможно Б» определяется как «Необходимо, что неверно Б» (важно, что хотя в разговорном русском языке её название выглядит похоже на отрицание возможности, в определении не фигурирует отрицание возможности — модальная логика вообще не требует задания модальности «возможно»).

• Модальные понятия вне контекста задаются по схеме
  • сильный положительный (утвердительный) оператор, иногда обозначают как V (вне контекста, чтобы вид высказываний сохранялся независимо от сорта модальной логики)
  • сильный отрицательный (запрещающий) оператор, Y
  • слабый модальный оператор, W
  • дополнительный слабый оператор (U), определяемый посредством предыдущих (обязательных) операторов

При таком способе задания, модальные операторы играют роль трёх-четырёхзначных функций оценки истинности или детерминированности. Альтернативно^[4], в семантике Крипке, модальная логика может быть задана через 2 модальных оператора, которые играют роль аналогичную дополнительным кванторам ("необходимо" подобно квантору "любой", а "возможно" подобно квантору "существует"). Далее следует перечисление модальностей в порядке соответствия силы модальности (в качестве базового списка можно рассматривать логические алетические модальности; первые три модальности в каждом пункте задаются обязательно, модальность «возможно» не всегда возможно задать, она не всегда задаётся и, в отличие от первых трёх модальностей, её нет в списке обязательных модальностей для того, чтобы логика считалась логикой модальностей и функционировала как таковая)

• Алетические (от др.-греч. ἀλήθεια — истина) модальности:^[1]
  • Логические:
    • необходимо, V
    • случайно, W
    • невозможно, Y
    • возможно, U
  • Онтологические (также называются фактическими, эмпирическими, физическими или каузальными):
    • ${\displaystyle \Box }$ — необходимо, V
    • ${\displaystyle \triangle }$ — случайно, W
    • невозможно, Y
    • ${\displaystyle \Diamond }$ — возможно, U

Алетические модальности оценивают истинность утверждений об истинности ситуаций с позиции либо законов логики (логические алетические модальности), либо известных фактов и законов природы (онтологические алетические модальности). Иначе можно сказать, что они оценивают, насколько описываемая ситуация детерминирована некоторым множеством законов и фактов.^[7] Например, утверждение «необходимо, что всякое животное смертно» является истинным, если интерпретировать «необходимо» как онтологическую модальность (так как накопленные научные факты указывают на это) — но оно же является ложным, если интерпретировать «необходимо» как логическую модальность (так как выражает высказывание «для всякого х верно, что если х имеет свойство А, то х имеет свойство Б», не имеющее форму общезначимого высказывания).^[7] Другой пример^[7] — высказывание «возможно, что существует вечный двигатель». Если модальность интерпретировать как логическую, то высказывание истинно (так как выражает лишь, что существует х, обладающий каким-то свойством); но если модальность интерпретировать как онтологическую, то высказывание ложно (так как противоречит известным законам физики и фактам, на основании которых те установлены).

• Эпистемические^[1]
  • Касающиеся знаний^[8]
    • Доказуемо (или доказано)
    • Неразрешимо (непроверяемо)
    • Опровержимо (или опровергнуто)
  • Касающиеся убеждений (доксастические)
    • Полагает (убеждён)
    • Сомневается
    • Отвергает
    • Допускает, U

Разница между оценками знаний и убеждений в данном случае заключается в том, что утверждение «А полагает, что Б» фиксирует лишь мнение А — в то время, как утверждение «А знает, что Б» фиксирует следующую ситуацию: «А полагает, что Б и Б имеет место в действительности».^[7]

• Деонтические (нормативно-правовые)^[1]
  • Обязательно, V, O
  • Нормативно-безразлично, W
  • Запрещено, Y, F
  • Разрешено, U, P

• Аксиологические (др.-греч. ἀξίᾱ — ценность)^[1]:
  • Абсолютные
    • хорошо
    • нейтрально (аксиологически безразлично)
    • плохо
  • Сравнительные
    • лучше
    • равноценно
    • хуже

Аксиологическую логику разработал философ А. А. Ивин.

• Временные^[1]:
  • Абсолютные
    • всегда
    • только иногда
    • никогда
  • Сравнительные
    • раньше
    • одновременно
    • позже («а затем», «потом»)

Кроме этого могут быть введены и другие модальности^[7]: «всегда будет» (ситуация будет иметь место в каждый момент будущего), «было» (ситуация имела место когда-то в прошлом) и пр. Например^[3], можно задать:

• • • Всегда было, G
    • Было, H
    • Всегда будет, F
    • Будет, P

Кроме этого, модальности делятся по нескольким другим признакам.^[7]

По количеству местности модальности (так же, как говорят о местности пропозициональных связок)

• Абсолютные модальности — это одноместные (унарные) модальности, которые образуют модальное высказывание из одного высказывания
• Относительные модальности — это модальности, местность которых больше 1 (например, «А позже Б», «Б лучше С» и т. п.)

По тому, оценивается ли ситуация с позиции определённого субъекта

• Личностные модальности
• Безличностные модальности

По тому, какую часть высказывания характеризует модальный оператор

• Внутренние модальности (de re, о вещи, о предмете) — оценивают присущесть свойств предметам в высказывании
• Внешние модальности (de dicto, о сказанном, о речи) — оценивают характер самого высказывания

Например^[7], модус силлогистики (Barbara)

Всякий А есть Б

Всякий С есть А

Следовательно, всякий С есть Б

Является верным, если рассматривать его как содержащий внутреннюю модальность «логически необходимо» — но он же является логически ложным, если его рассматривать как содержащий внешнюю модальность «логически необходимо». Верное утверждение:

Всякий А необходимо есть Б

Всякий С есть А

Следовательно, всякий С необходимо есть Б

Ложное утверждение:

Необходимо, что всякий А есть Б

Всякий С есть А

Следовательно, необходимо, что всякий С есть Б

Существует два правила^[7], которые необходимо добавить к силлогистике для проверки силлогизмов с модальностью de dicto:

• модальность заключения не может быть сильнее, чем в слабейшей по модальности посылке и
• если одна из посылок проблематическая, то другая должна быть аподиктической

Аподиктическая — «о необходимо присущем» или «о необходимо не присущем»; проблематическая — «о возможно присущем» или «о возможно не присущем».

Оперирует понятиями «знает», «полагает».

Оперирует понятиями: обязательство, разрешение, норма.

«Ты обязан это сделать» («Твой долг это сделать») либо «Ты можешь это сделать».

Эти понятия пытались внедрить достаточно давно, но значительный результат был только у Георга фон Вригта в Deontic Logic, Mind, New Series, Vol. 60, No. 237. (Jan., 1951), pp. 1-15.^[9]

Статья 2007 года о реализации деонтической логики. A Formal Language for Electronic Contracts^[10] использующий µ-calculus и реализацию mu-cke от A. Biere^[11]

В математической логике и информатике наиболее распространённой является семантика Крипке, также существуют алгебраическая семантика, топологическая семантика и ряд других.

Модальная формула определяется рекурсивно как слово в алфавите состоящем из счетного множества пропозициональных переменных ${\displaystyle PL}$, классических связок ${\displaystyle \to ,\bot }$, скобок ${\displaystyle (}$, ${\displaystyle )}$ и модального оператора ${\displaystyle \Box }$. А именно, формулой является

1. ${\displaystyle p}$ для любого ${\displaystyle p\in PL}$.
2. ${\displaystyle \bot }$.
3. ${\displaystyle (A\to B)}$, если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — формулы.
4. ${\displaystyle (\Box A)}$, если ${\displaystyle A}$ — формула.

Нормальной модальной логикой называется множество модальных формул, содержащее все классические тавтологии, аксиому нормальности

${\displaystyle \Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)}$

и замкнутое относительно правил Modus ponens ${\displaystyle {\frac {A,A\to B}{B}}}$, подстановки ${\displaystyle {\frac {A(p)}{A(B)}}}$ и введение модальности ${\displaystyle {\frac {A}{\Box A}}}$.

Минимальная нормальная модальная логика обозначается ${\displaystyle K}$.

• теория двойников обеспечивает перевод языка квантифицированной модальной логики в первопорядковую теорию (но не наоборот) без каких-либо интенсиональных операторов типа «возможно» и «необходимо»^[12].