Эпистемическая логика

Среди многих исследований, опубликованных в 1950-х годах, основополагающей считается статья финского философа Г. Х. фон Вригта 1951 года под названием An Essay in Modal Logic. В 1962 году другой исследователь из Финляндии, Хинтикка, издал книгу Knowledge and Belief, первую работу, предложившую использовать модальности для моделирования семантики знания, а не только алетические утверждения, традиционно рассматриваемые в модальной логике.

Этот вклад заложил фундамент области, но с тех пор исследования значительно продвинулись вперёд. Например, в последние годы эпистемическая логика была объединена с идеями динамической логики, что привело к появлению динамической эпистемической логики, позволяющей описывать и объяснять изменения и обмен знаниями в мультиагентных системах. Классические работы в этой области принадлежат Plaza, Ван Бентему, а также Балтагу, Моссу и Солецки.

Большинство подходов к формализации эпистемической логики опирается на модель возможных миров. Для этого пространство возможных миров делится на те, которые совместимы со знанием агента, и те, которые ему противоречат. Такой подход согласуется с интуитивным пониманием: если я знаю, что сегодня пятница или суббота, то я также уверен, что сегодня не четверг — не существует возможного мира, совместимого с моим знанием, где был бы четверг, ведь во всех таких мирах пятница или суббота.

Также заслуживает упоминания альтернативный подход, основанный на событиях: здесь события определяются как множества возможных миров, а знание трактуется как операция над событиями. Хотя оба подхода тесно связаны, между ними есть две существенные различия:

• Математической основой логико-ориентированного подхода выступают структуры Крипке, тогда как событийный подход использует связанные с ним структуры Аумана, основанные на теории множеств;
• при событийном подходе формулы логики полностью устраняются, в то время как логико-ориентированный подход использует аппарат модальной логики.

Типично, логико-ориентированный подход распространён в философии, логике и искусственном интеллекте, а событийный — в теории игр и математической экономике. В рамках первого была разработана формальная синтаксис и семантика с использованием языка модальной логики, характеристика которых приведена ниже.

Основной модальный оператор эпистемической логики, обычно обозначаемый как K, читается как «известно что», «эпистемически необходимо, чтобы» или «противоречит известному, что не-...». Если требуется рассмотреть знание нескольких агентов, операторы снабжаются индексами (${\displaystyle {\mathit {K}}_{1}}$, ${\displaystyle {\mathit {K}}_{2}}$ и т.д.), указывающими, о каком агенте идёт речь. Так, ${\displaystyle {\mathit {K}}_{a}\varphi }$ интерпретируется как «агент A знает, что...». Это делает эпистемическую логику примером мультимодальной логики, применяемой для представления знаний^[1]. Дуал к K символически не обозначается, но выражается как ${\displaystyle \neg K_{a}\neg \varphi }$ — «a не знает, что не-${\displaystyle \varphi }$», или «с знанием a согласуется то, что ${\displaystyle \varphi }$ возможно». Пропозиция «a не знает, выполняется ли ${\displaystyle \varphi }$» записывается как ${\displaystyle \neg K_{a}\varphi \land \neg K_{a}\neg \varphi }$.

Для выражения понятий общего знания и распределённого знания к языку добавляют дополнительные модальные операторы: ${\displaystyle {\mathit {E}}_{\mathit {G}}}$ — «каждый агент из группы G знает, что...», ${\displaystyle {\mathit {C}}_{\mathit {G}}}$ — «является общим знанием в группе G, что...», ${\displaystyle {\mathit {D}}_{\mathit {G}}}$ — «распределено между всей группой G, что...». Если ${\displaystyle \varphi }$ — корректно составленная формула, то верны также ${\displaystyle {\mathit {E}}_{G}\varphi }$, ${\displaystyle {\mathit {C}}_{G}\varphi }$ и ${\displaystyle {\mathit {D}}_{G}\varphi }$.

Как и индекс после ${\displaystyle {\mathit {K}}}$ допускается опустить при единственном агенте, так и индексы у ${\displaystyle {\mathit {E}}}$, ${\displaystyle {\mathit {C}}}$, ${\displaystyle {\mathit {D}}}$ не указываются, если речь идёт обо всех агентах.

Как было отмечено выше, логико-ориентированный подход строится на модели возможных миров, семантика которой формализуется через структуры Крипке (или модели Крипке). Для n агентов на ${\displaystyle \Phi }$ структура Крипке M представляет собой (n+2)-кортеж ${\displaystyle (S,\pi ,{\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n})}$, где S — непустое множество состояний/возможных миров, ${\displaystyle \pi }$ — интерпретация, связывающая с каждым состоянием S набор истинностных значений для элементарных высказываний из ${\displaystyle \Phi }$ (то есть множества всех элементарных высказываний), а ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n}}$ — бинарные отношения на S для каждого из n агентов. Важно не путать модальный оператор ${\displaystyle K_{i}}$ и отношение достижимости ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$.

Присвоение истинностных значений определяет, истинно или ложно утверждение p в данном состоянии. Так, ${\displaystyle \pi (s)(p)}$ показывает, истинно ли утверждение p в состоянии s в модели ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Истинность формулы зависит не только от структуры, но и от актуального мира: то, что истинно в одном мире, может быть ложно в другом. Для выражения того, что формула ${\displaystyle \varphi }$ верна в мире s модели M, пишут ${\displaystyle (M,s)\models \varphi }$, что читается как «${\displaystyle \varphi }$ истинно для (M,s)» либо «(M,s) удовлетворяет ${\displaystyle \varphi }$».

Бинарное отношение ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$ интерпретируется как отношение возможности: оно фиксирует, какие миры считаются возможными для состояния знания агента i. Формально, ${\displaystyle w{\mathcal {K}}_{i}v}$ если и только если ${\displaystyle \forall \varphi [(w\models K_{i}\varphi )\implies (v\models \varphi )]}$; такие v называют эпистемическими альтернативами для агента i.

В идеальной модели знания (например, для описания состояния идеальных рациональных агентов с неограниченной памятью) естественно считать ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$ отношением эквивалентности — это самая строгая и часто применимая конструкция. Отношение эквивалентности — это бинарное рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение, в отличие от отношения достижимости, которое не обязательно обладает этими свойствами^[2]. Допускаются и иные варианты, например, когда моделируется не знание, а убеждение.

Если считать ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$ отношением эквивалентности и предполагать, что агенты действуют исходя из идеальной рациональности, можно вывести ряд свойств эпистемической логики — известные как свойства логики S5.

Эта аксиома традиционно называется K. В эпистемических терминах она утверждает: если агент знает ${\displaystyle \varphi }$ и знает, что ${\displaystyle \varphi \implies \psi }$, то агент знает и ${\displaystyle \psi }$. То есть:

${\displaystyle (K_{i}\varphi \land K_{i}(\varphi \implies \psi ))\implies K_{i}\psi }$

Данная аксиома валидна для любой реляционной семантики. Она логически формализует modus ponens как правило вывода для любого эпистемически возможного мира.

Другое свойство: если ${\displaystyle \phi }$ тождественно истинна (например, является таутологией), то истинно и ${\displaystyle K_{i}\phi }$. Это не означает, что если ${\displaystyle \phi }$ истинна, то агент i её знает; это значит, что если ${\displaystyle \phi }$ истинна во всех мирах, считаемых агентом возможными, то агент знает ${\displaystyle \phi }$ во всех этих мирах. Этот принцип называют N (правило необходимости):

${\displaystyle {\text{если }}\models \varphi {\text{, то }}M\models K_{i}\varphi .}$

Данное правило всегда сохраняет истинность в реляционной семантике.

Эта аксиома известна как аксиома T (от англ. truth — истина): если агент знает факт, факт должен быть истинен. Это ключевое отличие знания от убеждения: можно верить в ложное, но нельзя знать ложное. Знание всегда о истине:

${\displaystyle K_{i}\varphi \implies \varphi }$

Эквивалентно, агенты не могут знать ложные утверждения:

${\displaystyle \varphi \implies \neg K_{i}\neg \varphi }$

Актиома валидна в любом фрейме Крипке с рефлексивностью.

Актиома положительной интроспекции^[3] и отрицательной интроспекции утверждают, что агенту доступна интроспекция собственного знания — то есть он осознаёт, что знает. Эти свойства называют аксиомами 4 и 5.

Положительная интроспекция (аксиома KK) утверждает, что агенты «знают, что знают то, что знают». Это менее очевидная аксиома, и Тимоти Уильямсон яростно критиковал её включение в своей книге Knowledge and Its Limits (Пределы знания).

В символах:

${\displaystyle K_{i}\varphi \implies K_{i}K_{i}\varphi }$

Эквивалентно, модальная аксиома 4: агенты «не знают того, о чём не знают, что знают»:

${\displaystyle \neg K_{i}K_{i}\varphi \implies \neg K_{i}\varphi }$

Данная аксиома валидна для любых фреймов Крипке с транзитивностью.

Аксиома отрицательной интроспекции гласит: агенты «знают, что не знают того, чего не знают». Если что-то неизвестно, агент знает, что это неизвестно.

В символах:

${\displaystyle \neg K_{i}\varphi \implies K_{i}\neg K_{i}\varphi }$

Эквивалентно, аксиома 5: агенты «знают то, чего не знают, что не знают». Незнание — само знание о незнании:

${\displaystyle \neg K_{i}\neg K_{i}\varphi \implies K_{i}\varphi }$

Эта аксиома валидна для фреймов Крипке с евклидовостью.

Разные модальные логики выводятся при разных подмножествах этих аксиом. Обычно система называется по ключевым аксиомам. Например, система KT45 включает аксиомы K, T, 4, 5 и правило генерализации знания (что соответствует S5). Поэтому упомянутые выше свойства знания называют свойствами S5. Также известно, что модальная аксиома B — теорема для S5 (${\displaystyle S5\vdash \mathbf {B} }$), она гласит: «то, что агент не знает, что не знает, — истинно»: ${\displaystyle \neg K_{i}\neg K_{i}\varphi \implies \varphi }$. Она верна на симметричных фреймах, но кажется неинтуитивной для эпистемической логики: почему «неведение собственного неведения» должно гарантировать истину? Поэтому ставится под вопрос, не лучше ли эпистемическую логику моделирует система S4 вместо S5.

Эпистемическая логика рассматривает также убеждения, а не только знание. Основной модальный оператор отмечают как B, а не K. Однако аксиома знания уже не выполняется — агент иногда верит в ложное. Обычно её заменяют на аксиому непротиворечивости, обозначаемую D:

${\displaystyle \neg B_{i}\bot }$

— то есть агент не верит в противоречие. Если D заменяет T в S5, система называется KD45, что обуславливает другие свойства для ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$. Например, если агент «верит», что нечто истинно, хотя на самом деле это не так, отношение достижимости будет нерефлексивным. Логику убеждений называют доксастической логикой.

Если в области рассуждения несколько агентов, каждый с собственным оператором ${\displaystyle K_{i}}$, то, наряду с аксиомами для индивидуальных агентов, предполагается, что рациональность каждого агента — общее знание.

Модель возможных миров для знания приводит к тому, что эпистемический агент a знает все логические следствия своих убеждений (допущение логической всеведущести^[4]). Если Q логически вытекает из P, то (по таблице истинности логической импликации) не существует мира, где P истинно, а Q ложно. Если a знает, что P истинно, то все логические следствия P истинны во всех мирах, совместимых с убеждениями a — следовательно, a знает, что Q истинно, и невозможен эпистемический мир, где Q ложно, если a знает P. Эти соображения подвигли Р. Сталнекера разработать бидименсионализм, который объясняет, как мы можем недоосознавать логические следствия собственных убеждений даже в условиях, когда нет миров, где все известные нам утверждения были бы истинны, а их следствия — ложны^[5].

Этот феномен проявляется и в чисто аксиоматических системах. При наличии K и N (соответственно, аксиома дистрибутивности и правило генерализации знания) — что верно для всех нормальных модальных логик — агент может доказать, что знает все следствия своих убеждений. Если Q — логическое следствие P (${\displaystyle \models (P\rightarrow Q)}$), то по N можно получить ${\displaystyle K_{a}(P\rightarrow Q)}$, а по K (совместно с условным рассуждением) — ${\displaystyle K_{a}P\rightarrow K_{a}Q}$.

В эпистемических терминах: если Q — следствие P, то a знает об этом следствии, и если a знает P, значит, знает и Q. Иными словами, a знает все логические следствия любого знания. Это неизбежно для всех классических модальных логик. Например, если a знает определение простого числа («простые числа делятся только на себя и единицу»), то a "знает", что 8683317618811886495518194401279999999 — простое (ведь это верно по определению) — в модальной трактовке знания a, зная определение, автоматически считается знающим каждое отдельное простое число.

Это обобщается: если a знает все аксиомы теории, то a знает и все её теоремы. Следовательно, a — не человек (иначе не было бы нерешённых математических задач, как P против NP или гипотеза Гольдбаха). То есть эпистемическая модальная логика — абстракция объективного знания, идеализирующая его, а не отражающая субъективное знание^[6].

В философской логике ошибка замаскированного человека (также известная как интенсиональная или эпистемическая ошибка) возникает, когда закон Лейбница используется вне корректного контекста. Она называется «эпистемической», поскольку предполагает непосредственную отождествимость предмета и знания субъекта об этом предмете, игнорируя, что закон Лейбница не применим в интенсиональных контекстах.

Название ошибки обусловлено следующим примером:

• Посылка 1: Я знаю, кто такой Боб.
• Посылка 2: Я не знаю, кто такой замаскированный человек.
• Вывод: Следовательно, Боб — не замаскированный человек.

Посылки могут быть истинны, а вывод ложен, если Боб и есть замаскированный человек, но говорящий этого не знает. Значит, рассуждение ошибочно.

В символическом виде:

• Посылка 1: Я знаю, кто такой X.
• Посылка 2: Я не знаю, кто такой Y.
• Вывод: Следовательно, X ≠ Y.

Следует отметить, что этот силлогизм описывает рассуждения субъекта («Я»):

• Посылка 1: Субъект считает, что знает, кто X.
• Посылка 2: Субъект считает, что не знает, кто Y.
• Вывод: Соответственно, субъект считает, что X ≠ Y.

Посылка 1 (${\displaystyle {\mathcal {B_{s}}}\forall t(t=X\rightarrow K_{s}(t=X))}$) крайне сильна и эквивалентна ${\displaystyle {\mathcal {B_{s}}}\forall t(\neg K_{s}(t=X)\rightarrow t\not =X)}$. Скорее всего, это ошибочное убеждение: ${\displaystyle \forall t(\neg K_{s}(t=X)\rightarrow t\not =X)}$ — как правило, ложное утверждение, ведь незнание ${\displaystyle t=X}$ не означает истинности ${\displaystyle t\neq X}$.

Другой пример:

• Посылка 1: Лоис Лейн считает, что Супермен умеет летать.
• Посылка 2: Лоис Лейн считает, что Кларк Кент не умеет летать.
• Вывод: Следовательно, Супермен и Кларк Кент — не одно и то же лицо.

В терминах доксастической логики:

• Посылка 1: ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{Lois}Fly_{(Superman)}}$
• Посылка 2: ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{Lois}\neg Fly_{(Clark)}}$
• Вывод: ${\displaystyle Superman\neq Clark}$

Такое рассуждение не сохраняет истинности: корректный вывод — лишь что Лоис верит в ${\displaystyle Superman\neq Clark}$: ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{Lois}(Superman\neq Clark)}$.