Предикат

О предикатах в виноделии см. вина с предикатом

Предика́т (лат. praedicatum «заявленное, упомянутое, сказанное») — это утверждение, высказанное о субъекте. Субъектом высказывания называется то, о чём делается утверждение.

Предикат в программировании — выражение, использующее одну или более величину с результатом логического типа.

Далее в этой статье слово предикат используется в значении высказывательной формы.

Определение

Предика́т ($n$-местный, или $n$-арный) — это функция с множеством значений $\{0,1\}$ (или {ложь, истина}), определённая на множестве $M={{M}_{1}}\times {{M}_{2}}\times \ldots \times {{M}_{n}}$. Таким образом, каждый набор элементов множества $M$ характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный».

Предикат можно связать с математическим отношением: если кортеж $(m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})$ принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на нём 1. В частности, одноместный предикат определяет отношение принадлежности некоторому множеству.

Предикат — один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.

Предикат называют тождественно-истинным и пишут:

$P\left(x_{1},...,x_{n}\right)\equiv 1$

если на любом наборе аргументов он принимает значение $1$.

Предикат называют тождественно-ложным и пишут:

$P\left(x_{1},...,x_{n}\right)\equiv 0$

если на любом наборе аргументов он принимает значение $0$.

Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение $1$.

Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т. д.

Примеры

Обозначим предикатом $EQ(x,y)$ отношение равенства («$x=y$»), где $x,y\in \mathbb {R}$. В этом случае предикат $EQ$ будет принимать истинное значение для всех равных $x$ и $y$.

Более житейским примером может служить предикат ПРОЖИВАЕТ$(x,y,z)$ для отношения «$x$ проживает в городе $y$ на улице $z$» или ЛЮБИТ$(x,y)$ для «$x$ любит $y$» для $x$ и $y$ принадлежащих $M$ , где множество $M$ — это множество всех людей.

Предикат — это то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения.

Операции над предикатами

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения: истинное и ложное, поэтому к ним применимы все операции логики высказываний. Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Логические операции

Конъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат $A\left(x\right)\wedge B\left(x\right)$, который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х из Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Множеством истинности Т предиката $A\left(x\right)\wedge B\left(x\right)$ является пересечение множеств истинности предикатов A(x)  — T1 и B(x) — T2, то есть T = T1 ∩ T2. Например: A(x): «x — чётное число», B(x): «x кратно 3». A(x) B(x) — «x — чётное число и x кратно 3». То есть предикат «x делится на 6».

Дизъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат $A\left(x\right)\vee B\left(x\right)$, который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях x из Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Областью истинности Т предиката $A\left(x\right)\vee B\left(x\right)$ является объединение областей истинности предикатов A(x) — Т1 и B(x) — Т2, то есть Т = Т1 ⋃ Т2.

Отрицанием предиката A(x) называется новый предикат ¬A(x), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях x из T, при которых предикат A(x) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь», если A(x) принимает значение «истина».

Множеством истинности предиката x X является дополнение T' к множеству T в множестве X.

Импликацией предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат $A\left(x\right)\Rightarrow B\left(x\right)$, который является ложным при тех и только тех значениях x из T, при которых A(x) принимает значение «истина», а B(x) — значение «ложь», и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Читают: «Если A(x), то B(x)».

Например. A(x): «Натуральное число x делится на 3». B(x): «Натуральное число x делится на 4», можно составить предикат: «Если натуральное число x делится на 3, то оно делится и на 4». Множеством истинности предиката $A\left(x\right)\Rightarrow B\left(x\right)$ является объединение множества T2 — истинности предиката B(x) и дополнения к множеству T1 истинности предиката A(x).

Кванторные операции

• Квантор всеобщности $\forall$
• Квантор существования $\exists$
• Квантор существования по переменной $x$₁

См. также

• Исчисление предикатов
• Непредикативность
• Определяющий предикат
• Предикатив

Литература

• Гуц А. К. Математическая логика и теория алгоритмов. — Наследие, Диалог-Сибирь, 2003.
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. — М.: Наука, Физматлит, 1987.
• Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. — Academia, 2008.
• Клини С. К. Математическая логика. — М.: Мир, 1973.
• Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М.: Наука, 1971.
• Новиков П. С. Элементы математической логики. — М.: Наука, 1973.