Предикат

В традиционной логике (см. также силлогистика) при анализе суждений (так называемых категорических суждений) различают то, о чём утверждается (субъект), и то, что утверждается (предикат). Субъект — это предмет утверждения, предикат — то, что ему приписывается, например свойство. Часть высказывания, указывающая на предмет — «субъект-терм», а часть, приписывающая субъекту предикат — «предикат-терм»; также используются термины «субъект» и «предикат» для обоих смыслов. Сам акт приписывания называется предикацией.

Примеры простых высказываний:

1. Сократ — человек.
2. Собака моего соседа спит.
3. Сократ любит обсуждать философию за долгими винными вечерами.

В примерах 1 и 3 человеком является Сократ — это субъект, а выражение «Сократ» — субъект-терм. В примере 2 субъект — собака соседа, соответствующий терм — «Собака моего соседа».

В приведённых предложениях предикаты — это свойства «быть человеком», «спать», «любить обсуждать философию за долгими винными вечерами». Предикат-термы: «человек», «спит», «любит обсуждать философию за долгими винными вечерами».

Первые и последние примеры показывают, что логический предикат (точнее, предикат-терм) необязательно совпадает с грамматическим предикатом («есть», «любит»): грамматически «человек» выступает именным сказуемым в роли именительного, «обсуждать…» — прямой объект глагола.

Как части суждения предикат-терм и субъект-терм неполны и сами по себе не являются утверждениями, не могут быть истинными или ложными.

В примере 1 предикат-терм состоит из двух частей: копулы «есть» и предикативного существительного «человек». В силлогистике принято оформлять и примеры 2, 3 в этой форме, чтобы их можно было формально использовать:

• Собака моего соседа есть спящий.
• Сократ есть любящий обсуждать философию за долгими винными вечерами.

В традиционной логике (следуя классической трактовке), Иммануил Кант различает аналитические суждения, в которых предикат содержится в субъекте (например, «Все круги круглые»), и синтетические, где предикат добавляет к субъекту (например, «Собака спит»); см. также синтетическое суждение априори.

Традиционно термин «предикат» использовали и для выражения, и для его значения. Лишь Готлоб Фреге строго развёл «выражение понятия» и само понятие^[2]. Это осложняет вопрос, является ли «предикативная структура высказывания»^[3] характеристикой мышления или языка. На практике эту грань нередко игнорируют, поскольку логика может трактоваться как формальный (неинтерпретируемый) калькулюс. Такая чисто формальная роль логического предиката иногда называется «предикатор»^[4] или «генеральный термин»^[5], чтобы отличить от грамматического предиката и сингулряных терминов (имён объектов). Под влиянием современной логики некоторые современные грамматические теории предиката ориентируются на логическое понятие предиката.

Предикат в терминологии современной логики — «выражение, из которого путём подстановки имён вместо переменных можно получить предложение»^[6]. Иначе: предикат — это часть предложения, которая остаётся после удаления имён^[7].

Ключевой идеей Фреге служит положение: «содержательная часть высказывания есть целое, которое можно логически расчленить различными способами, но всегда так, что о предмете утверждаются свойства или отношения»^[8]. Используя понятие функции, высказывание делится не на субъект и предикат, а на функцию и аргумент^[9]. Языковое «субъект — предикат» сменяется в логике схемой «аргумент — функция»^[10]. Аргументный выражение задаёт объект, для которого функция (предикат) указывает свойства или отношения^[8].

В этом смысле предикат — «функция предложения» (также функция высказывания, высказывательная форма, англ. propositional function), принимающая на вход аргумент (имя или связанная переменная) и возвращающая истинностное значение.

В современных руководствах отмечается: «n-местные предикаты — это по сути n-местные функции, принимающие n-кратные аргументы и возвращающие значения-истины. Одноместные предикаты берут отдельные объекты, двуместные — пары, n-местные — n-кортежи»^[11]. Экстенсионал n-местного предиката — множество (n)-кортежей, для которых предикат истинен^[12].

Современное понятие предиката позволяет детально рассматривать отношения и высказывания об существовании.

В современной трактовке предикат может быть многоместным, что даёт логическую основу для рассмотрения отношений.

• Пример: «Сократ — ученик Платона»

Примечание: исторически Платон был учеником Сократа; пример иллюстрирует структуру, а не достоверность.

Традиционный анализ: «Сократ» (субъект) «есть» (копула) «ученик Платона» (предикат) Современный анализ: Отношение «быть учеником» фиксируется как предикат-терм «_1 — ученик _2», где _1 и _2 — позиции для объектов (аргументов) — Сократа и Платона.

В данном случае предикат (или предикат-терм) двуместный. В зависимости от числа объектов различают трёх-, четырёх- и вообще n-местные предикаты (отношения).

Современная логика также позволяет строгую формализацию экзистенциальных высказываний.

• Примеры: (1) «Существуют фиолетовые муравьи»; (2) «Некоторые муравьи фиолетовые»; (3) «Фиолетовые муравьи существуют»^[13]

Традиционная логика: В (1) слово «есть» служит формальным (мнимым) субъектом, что вызывает трудности для анализа. Если переформулировать (1) и (3) в «фиолетовые муравьи существуют», можно выделить субъект («фиолетовые муравьи») и копулу + предикат («существуют»). Это отличается от (2): «Некоторые муравьи» (субъект) + «есть» + «фиолетовые» (предикат).

Современная логика: Для современной логики все три варианта эквивалентны, а слово «существовать» — только грамматический, а не логический предикат^[14]. Детальное обсуждение — сложный вопрос. По Фреге, существование есть свойство понятия иметь ненулевой объём^[15]. Классическим locus classicus современной трактовки считается статья Рассела «On Denoting» (1905)^[16].

Следуя Фреге и считая предикаты функциями высказываний, термин «понятие» используется в чисто логическом смысле^[17]; рассматривая понятия как значения предикатов^[18], получают его классическое определение: «понятие — это функция, принимающая истинностные значения»^[19].

Это считается «первым устойчивым определением понятия в истории европейской философии»^[20].

Следует чётко различать языковые выражения предикатов и их значения. Так, предикат «есть белым» обозначает свойство быть белым, а «быть другом» — отношение дружбы. Значение n-местного предиката называют также n-местным понятием^[18].

Предикаты — это обозначения свойств и отношений, приписываемых индивидуумам; одноместный предикат — знак однозначного атрибута (свойство). По терминологии логики отношений, n-местные предикаты называют «однозначными выражениями отношения»^[21].

Часто предикаты отождествляют со свойствами объектов, но это применимо главным образом к атомарным предикатам первого уровня.

Резюмируя, для аристотелевского понятия: «отношение субъекта и предиката в предложении отражает главное отношение бытия: субстанция (субъект) и её свойства (предикаты). Любое истинное суждение отражает онтологическую связь»^[22].

Не рассматривается вопрос, в какой мере классическая онтология с дихотомией субстанции и акциденции обусловливает классическое понятие предиката.

Местность (степень арности)

По количеству возможных аргументов различают одноместные и многоместные предикаты. Предикат с n позициями называют n-местным предикатом^[18].

Вместо обозначений «одноместный», «двуместный», «трёхместный» иногда встречаются синонимы: «монический», «диадический», «триадический»; также встречается термин «реляция»^[23]. Одно слово может быть формой предикатов разной местности^[24].

• Пример (глагол «лежать»):
  • (1) одноместный: f(a) — «Антон лежит» (выражение: «… лежит» (Антон));
  • (2) двуместный: f(a, b) — «Антон лежит под дубом» («… лежит под …» (Антон, дуб)).
  • (3) трёхместный: f(a, b, c) — «Антон лежит между дубом и берёзой» («… лежит между … и …» (Антон, дуб, берёза)).

«В любом многоместном предикате всегда содержится менее местный, и всегда — одноместный»^[25]. То есть фразу «Антон лежит между дубом и берёзой» можно анализировать как «…лежит между дубом и берёзой» (Антон). Пустые позиции предиката в иной терминологии соответствуют его синтаксической валентности^[26].

Атомарный и молекулярный предикат

Атомарный предикат (семантический примитив, англ. semantic primitive^[27]) — не содержит логических связок (коннекторов). Молекулярный предикат образуется объединением нескольких атомарных предикатов с помощью связок^[28].

Уровневость

По Фреге, различают предикаты первого и второго уровня. Предикаты первого уровня применяются к объектам, которые обозначаются индивидуальными константами, второго уровня — к предикатам первого уровня^[29].

Пустой и непустой предикат

«Пустым называют предикат, который не относится ни к одному объекту»^[30] (пример: «… — единорог»). Противоположность — непустой предикат.

В отличие от традиционной силлогистики, современная математическая логика исследует не умозаключение на естественном языке, а исчисление в точно заданных формальных языках и системах. Для исчисления предикатов в язык входят одноместные и многоместные символы предикатов (предикатные константы; предикатные буквы, предикаторы), обычно изображаемые заглавными буквами латинского алфавита и принимающие аргументы. Аргументы, как правило, заключаются в скобки и перечисляются через запятую. Например, одноместный предикат с символом «P» записывается как «P_» или «P(_)», двуместный — как «S_1_2» или «S(_1, _2)». Одноместные символы предиката соответствуют предикат-термам силлогистики.

В интерпретации формального языка каждому одноместному символу предиката сопоставляется множество объектов (вещества, сущности, объекты), к которым применим предикат; двуместному символу — множество упорядоченных пар объектов; в общем случае n-местному — множество n-кортежей (в математике — отношение) объектов. Совокупность всех объектов рассматриваемой интерпретации называют универсумом дискурса (англ. universe of discourse или англ. domain).

Формально термин предикат определяется как функция из множества n-кортежей универсумов в множество истинностных значений. То есть n-местный предикат — n-арная функция из n-кратного декартова произведения универсума D (${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}D=\underbrace {D\times ...\times D} _{n{\text{-раз}}}}$) в множество истинностных значений. Соответственно, каждому символу предиката P(_1, _2, …, _n) сопоставляется функция P(x_1, x_2, …, x_n), причём P(x_1, x_2, …, x_n) истинно тогда и только тогда, когда n-кортеж (x_1, …, x_n) принадлежит множеству, соответствующему символу:

Для любых x_1, …, x_n ∈ D:

(x_1, …, x_n) ∈ P ⇔ P(x_1, …, x_n) = Истино

Поскольку (x_1, …, x_n) ∈ P и P(x_1, …, x_n) эквивалентны, эти выражения используются взаимозаменяемо.

Пример: пусть универсум дискурса U состоит из Ульриха, Хайнера и Анны.

U = {Ульрих, Хайнер, Анна}

Введём одноместный предикат F() и двуместный L(,). Символу F сопоставим одноместное отношение {Анна}. Символу L — двуместное отношение {(Анна, Хайнер), (Хайнер, Анна), (Ульрих, Анна)}. Предикаты: F(x) и L(x_1, x_2). F(x) истинно тогда и только тогда, когда x = Анна, то есть F(Анна) — истинно.